(2,0) Sejam \mathcal{B} e \mathcal{C} bases de \mathcal{P}_{2}. Se \mathcal{B}=\left\{x, 1+x, 1-x+x^{2}\right\} e a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C} é [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1\end{array}\right], encontre \mathcal{C}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A base \mathcal{B} de \mathcal{P}_2 é \mathcal{B}=\{\,x,\;1+x,\;1-x+x^{2}\,\}.
A matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C} é
O que se pede: encontrar a base \mathcal{C}=\{c_{1},c_{2},c_{3}\} (os três polinômios em \mathcal{P}_2) cujo relacionamento com \mathcal{B} é dado por essa matriz.]
Passo 2
Interpretação da matriz [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (explicando devagar):
Por definição, [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é a matriz que transforma coordenadas em \mathcal{B} nas coordenadas em \mathcal{C}.
Isso implica que a j-ésima coluna de [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} são as coordenadas do vetor b_{j} (o j-ésimo elemento de \mathcal{B}) em relação à base \mathcal{C}; ou seja,
[b_j]_{\mathcal{C}}=\text{\(j\)-ésima coluna de }[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.é
Escrevendo isso em linguagem de combinação linear: se \mathcal{C}=\{c_{1},c_{2},c_{3}\} e a coluna j é \begin{pmatrix}\alpha\\beta\\gamma\end{pmatrix}, então
b_j=\alpha c_{1}+\beta c_{2}+\gamma c_{3}.
Passo 3
Aplicando isso às colunas da matriz dada. As colunas são:
Finalmente, pela primeira equação b_{1}=c_{1}-c_{3} obtemos
c_{1}=b_{1}+c_{3}.
Passo 5
Agora calculamos explicitamente os polinômios c_{1},c_{2},c_{3} usando os b_j. Para facilitar, escrevo os b_j como vetores de coeficientes na base padrão \{1,x,x^{2}\}:
Resumo final: os três polinômios que formam a base \mathcal{C} são os c_{1},c_{2},c_{3} calculados acima. Eles são linearmente independentes (são três vetores em \mathcal{P}_2), portanto constituem uma base.