(2,0) Sejam \mathcal{B} e \mathcal{C} bases de \mathcal{P}_{2}. Se \mathcal{B}=\left\{x, 1+x, 1-x+x^{2}\right\} e a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C} é [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1\end{array}\right], encontre \mathcal{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A base \mathcal{B} de \mathcal{P}_2 é \mathcal{B}=\{\,x,\;1+x,\;1-x+x^{2}\,\}.
  • A matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C} é
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar a base \mathcal{C}=\{c_{1},c_{2},c_{3}\} (os três polinômios em \mathcal{P}_2) cujo relacionamento com \mathcal{B} é dado por essa matriz.]

Passo 2

Interpretação da matriz [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (explicando devagar):
  • Por definição, [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é a matriz que transforma coordenadas em \mathcal{B} nas coordenadas em \mathcal{C}.
  • Isso implica que a j-ésima coluna de [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} são as coordenadas do vetor b_{j} (o j-ésimo elemento de \mathcal{B}) em relação à base \mathcal{C}; ou seja,
[b_j]_{\mathcal{C}}=\text{\(j\)-ésima coluna de }[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.é
  • Escrevendo isso em linguagem de combinação linear: se \mathcal{C}=\{c_{1},c_{2},c_{3}\} e a coluna j é \begin{pmatrix}\alpha\\beta\\gamma\end{pmatrix}, então
b_j=\alpha c_{1}+\beta c_{2}+\gamma c_{3}.

Passo 3

Aplicando isso às colunas da matriz dada. As colunas são:
\text{col}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \text{col}_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Então as igualdades entre polinômios são
\begin{aligned} b_1 &= 1\cdot c_{1} + 0\cdot c_{2} + (-1)\cdot c_{3} = c_{1}-c_{3},\\[4pt] b_2 &= 0\cdot c_{1} + 2\cdot c_{2} + 1\cdot c_{3} = 2c_{2}+c_{3},\\[4pt] b_3 &= 0\cdot c_{1} + 1\cdot c_{2} + 1\cdot c_{3} = c_{2}+c_{3}. \end{aligned}
Aqui os b_j são os elementos de \mathcal{B}: b_1=x, b_2=1+x, b_3=1-x+x^{2}.]

Passo 4

Resolver o sistema para c_1,c_2,c_3 em termos dos b_j. A partir das últimas duas equações podemos eliminar c_{2} e c_{3}:
  • Da terceira equação b_{3}=c_{2}+c_{3} e da segunda b_{2}=2c_{2}+c_{3}. Subtraindo a terceira da segunda:
b_{2}-b_{3}=(2c_{2}+c_{3})-(c_{2}+c_{3})=c_{2}.
Portanto
c_{2}=b_{2}-b_{3}.
  • Substituindo c_{2} na terceira equação b_{3}=c_{2}+c_{3}
b_{3}=(b_{2}-b_{3})+c_{3}\quad\Rightarrow\quad c_{3}=2b_{3}-b_{2}.
  • Finalmente, pela primeira equação b_{1}=c_{1}-c_{3} obtemos
c_{1}=b_{1}+c_{3}.

Passo 5

Agora calculamos explicitamente os polinômios c_{1},c_{2},c_{3} usando os b_j. Para facilitar, escrevo os b_j como vetores de coeficientes na base padrão \{1,x,x^{2}\}:
b_{1}=x \mapsto \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad b_{2}=1+x \mapsto \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad b_{3}=1-x+x^{2} \mapsto \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Usando operações linha a linha:
  • c_{3}=2b_{3}-b_{2}. Em vetores:
2\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2-1\\[4pt]-2-1\\[4pt]2-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Isso corresponde ao polinômio \;1-3x+2x^{2}.
  • c_{1}=b_{1}+c_{3}. Em vetores:
\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix},
correspondendo ao polinômio \;1-2x+2x^{2}.
  • c_{2}=b_{2}-b_{3}. Em vetores:
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix},
correspondendo ao polinômio \;2x-x^{2}.]

Passo 6

Resumo final: os três polinômios que formam a base \mathcal{C} são os c_{1},c_{2},c_{3} calculados acima. Eles são linearmente independentes (são três vetores em \mathcal{P}_2), portanto constituem uma base.

Resposta

\;c_{1}=1-2x+2x^{2}
\;c_{2}=2x-x^{2}
\;c_{3}=1-3x+2x^{2}

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