(3,0) Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais dos respectivos espaços vetoriais:
(a) W=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=x+y\right} e V=\mathbb{R}^{3}
(a) W=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=x+y\right} e V=\mathbb{R}^{3}
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
A pergunta é: verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Todo vetor de
tem a forma com a condição . - O espaço ambiente é
.
Passo 2
Definição prática que vamos usar (passo-a-passo didático): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes são satisfeitas:
-
é não vazio (equivalente: contém o vetor nulo). -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Explicando cada condição em palavras simples:
- Conter o vetor nulo é essencial porque todo subespaço deve ter o elemento neutro da adição.
- Fechamento sob adição e escalares garante que combinações lineares básicas de vetores de
permaneçam em , o que é a essência de subespaço.
Passo 3
Verificação da condição 1 (vetor nulo):
O vetor nulo em é
. Substituindo na condição de
:
O vetor nulo em
Como
é verdadeiro, temos
. Portanto
é não vazio e contém o vetor nulo.
Passo 4
Verificação da condição 2 (fechamento sob adição):
Sejam
Sejam
Pelo fato de pertencerem a
, vale
Calculemos a soma:
Agora verificamos se a terceira componente da soma é igual à soma das duas primeiras:
Logo a terceira componente de
é exatamente a soma das duas primeiras componentes de
. Portanto
satisfaz a condição
, isto é,
. Conclusão:
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificação da condição 3 (fechamento sob multiplicação escalar):
Seja com
e seja
. Calculemos
Seja
Verificamos a condição
para
:
Portanto a terceira componente de
é a soma das duas primeiras componentes de
, ou seja
. Assim
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão das verificações:
Já mostramos que contém o vetor nulo, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação escalar. Pelas condições de subespaço, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Já mostramos que
Passo 7
Comentário didático adicional (útil para provas): podemos também escrever vetores de
em forma paramétrica para entender sua estrutura. Tomando
e
como parâmetros livres,
Isso mostra que
, logo
é o subespaço gerado por essas duas direções (uma base possível), e
.
Resposta
Sim.
é um subespaço vetorial de
.