(3,0) Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais dos respectivos espaços vetoriais:
(a) W=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=x+y\right} e V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} e o subconjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: z=x+y\}.
A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V.
Informações relevantes dadas:
  • Todo vetor de W tem a forma (x,y,z) com a condição \;z=x+y.
  • O espaço ambiente é V=\mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Definição prática que vamos usar (passo-a-passo didático): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes são satisfeitas:
  1. W é não vazio (equivalente: contém o vetor nulo).
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
Explicando cada condição em palavras simples:
  • Conter o vetor nulo é essencial porque todo subespaço deve ter o elemento neutro da adição.
  • Fechamento sob adição e escalares garante que combinações lineares básicas de vetores de W permaneçam em W, o que é a essência de subespaço.

Passo 3

Verificação da condição 1 (vetor nulo):
O vetor nulo em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Substituindo na condição de W:
z = x + y \quad\Longrightarrow\quad 0 \stackrel{?}{=} 0 + 0.
Como 0 = 0 é verdadeiro, temos (0,0,0)\in W. Portanto W é não vazio e contém o vetor nulo.

Passo 4

Verificação da condição 2 (fechamento sob adição):
Sejam
u=(x_1,y_1,z_1)\in W,\qquad v=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Pelo fato de pertencerem a W, vale
z_1 = x_1 + y_1,\qquad z_2 = x_2 + y_2.
Calculemos a soma:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Agora verificamos se a terceira componente da soma é igual à soma das duas primeiras:
z_1+z_2 = (x_1+y_1)+(x_2+y_2) = (x_1+x_2)+(y_1+y_2).
Logo a terceira componente de u+v é exatamente a soma das duas primeiras componentes de u+v. Portanto u+v satisfaz a condição z=x+y, isto é, u+v\in W. Conclusão: W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificação da condição 3 (fechamento sob multiplicação escalar):
Seja u=(x_1,y_1,z_1)\in W com z_1=x_1+y_1 e seja c\in\mathbb{R}. Calculemos
c\,u = (c x_1,\;c y_1,\;c z_1).
Verificamos a condição z=x+y para c\,u:
c z_1 = c(x_1+y_1) = c x_1 + c y_1.
Portanto a terceira componente de c\,u é a soma das duas primeiras componentes de c\,u, ou seja c\,u\in W. Assim W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão das verificações:
Já mostramos que W contém o vetor nulo, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação escalar. Pelas condições de subespaço, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

Passo 7

Comentário didático adicional (útil para provas): podemos também escrever vetores de W em forma paramétrica para entender sua estrutura. Tomando x e y como parâmetros livres,
(x,y,z)=(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1).
Isso mostra que W=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}, logo W é o subespaço gerado por essas duas direções (uma base possível), e \dim W = 2.

Resposta

Sim. W é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados