Exercício 26. Discutir a posição relativa entre
e
, para:
es:
.
Passo 1
O enunciado dá duas retas, dependentes do parâmetro
, e pede discutir a posição relativa entre elas (ou seja: se são concorrentes, paralelas distintas ou coincidentes). As retas são:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes da reta
: . - Coeficientes da reta
: .
A tarefa é classificar a posição relativa entree para os valores de .
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática):
- Para duas retas na forma
e definimos o determinante dos coeficientes
- Se
então as retas são concorrentes (têm uma única interseção). - Se
então as retas são paralelas ou coincidentes. Para distinguir: - são coincidentes se os vetores
e são proporcionais (existe tal que ); - caso contrário são paralelas distintas.
Vou aplicar exatamente esse critério, explicando cada passo.
- são coincidentes se os vetores
Passo 3
Calcular
com os coeficientes dados. Primeiro observe que
Note que
. Agora o determinante:
Passo 4
Simplificar
. Faço a conta passo a passo:
Logo
Uma fatoração mais direta usando
é:
Portanto
Passo 5
Analisar o caso
Nesse caso as retas são concorrentes (têm única interseção). Para encontrar o ponto de interseção, resolvemos o sistema (escrevo as retas em forma igualitária):
Somando ambas as equações (eliminação de
) obtém-se
Como aqui assumimos
, segue
. Substituindo em qualquer equação, por exemplo na primeira:
válido porque
. Assim, para
e
as retas intersectam em
Passo 6
Analisar o caso
. Existem duas subcasos:
ou
.
- Para
:
Substituir nas equações:
As duas retas têm coeficientes
e são retas horizontais com ordens diferentes; portanto são paralelas distintas (sem ponto comum).
- Para
:
Substituindo:então a reta é Multiplicando por obtemos Para , com : então que, multiplicando por , também dá Assim, para as duas equações representam exatamente a mesma reta: são coincidentes (infinitas interseções).
Passo 7
Resumo final (classificação completa):
- Se
e : as retas e são concorrentes (se cruzam) e o ponto de interseção é . - Se
: as retas são paralelas distintas (não têm pontos em comum); explicitamente e . - Se
: as retas são coincidentes; equação comum .
Resposta
Se
e
:
e
são concorrentes em
.
Se :
e
são paralelas distintas (
).
Se :
e
são coincidentes (mesma reta
).
Se
Se