Exercício 26. Discutir a posição relativa entre r e s, para:
r:(m-1) x+m y-1=0 es: (1-m) x+(m+1) y+1=0.

Passo 1

O enunciado dá duas retas, dependentes do parâmetro m, e pede discutir a posição relativa entre elas (ou seja: se são concorrentes, paralelas distintas ou coincidentes). As retas são:
r:\;(m-1)x+my-1=0
s:\;(1-m)x+(m+1)y+1=0
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes da reta r: a_1=m-1,\;b_1=m,\;c_1=-1.
  • Coeficientes da reta s: a_2=1-m,\;b_2=m+1,\;c_2=1.
    A tarefa é classificar a posição relativa entre r e s para os valores de m.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática):
  • Para duas retas na forma a_1x+b_1y+c_1=0 e a_2x+b_2y+c_2=0 definimos o determinante dos coeficientes
D=a_1b_2-a_2b_1.
  • Se D\neq0 então as retas são concorrentes (têm uma única interseção).
  • Se D=0 então as retas são paralelas ou coincidentes. Para distinguir:
    • são coincidentes se os vetores (a_1,b_1,c_1) e (a_2,b_2,c_2) são proporcionais (existe k tal que a_2=ka_1,\;b_2=kb_1,\;c_2=kc_1);
    • caso contrário são paralelas distintas.
      Vou aplicar exatamente esse critério, explicando cada passo.

Passo 3

Calcular D com os coeficientes dados. Primeiro observe que
a_1=m-1,\quad b_1=m,\quad c_1=-1,
a_2=1-m,\quad b_2=m+1,\quad c_2=1.
Note que a_2=1-m=-(m-1)=-a_1. Agora o determinante:
D=a_1b_2-a_2b_1=(m-1)(m+1)-(1-m)m.

Passo 4

Simplificar D. Faço a conta passo a passo:
(m-1)(m+1)=m^2-1,
(1-m)m=m-m^2.
Logo
D=m^2-1-(m-m^2)=m^2-1-m+m^2=2m^2-m-1.
Uma fatoração mais direta usando a_2=-a_1 é:
D=a_1b_2-a_2b_1=(m-1)(m+1)-(1-m)m=(m-1)\big((m+1)+m\big)=(m-1)(2m+1).
Portanto
D=(m-1)(2m+1).

Passo 5

Analisar o caso D\neq0\). Isso ocorre quando \[(m-1)(2m+1)\neq0\quad\Longleftrightarrow\quad m\neq1\\ \text{e}\\ m\neq-\tfrac{1}{2}.
Nesse caso as retas são concorrentes (têm única interseção). Para encontrar o ponto de interseção, resolvemos o sistema (escrevo as retas em forma igualitária):
\begin{cases} (m-1)x+my=1,\\[4pt] (1-m)x+(m+1)y=-1. \end{cases}
Somando ambas as equações (eliminação de x\], porque \(a_1+a_2=(m-1)+(1-m)=0) obtém-se
(2m+1)y=0.
Como aqui assumimos 2m+1\neq0, segue y=0. Substituindo em qualquer equação, por exemplo na primeira:
(m-1)x=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1}{m-1},
válido porque m\neq1. Assim, para m\neq1 e m\neq-\tfrac{1}{2} as retas intersectam em
\left(\dfrac{1}{m-1},\,0\right).]

Passo 6

Analisar o caso D=0. Existem duas subcasos: m=1 ou m=-\tfrac{1}{2}.
  • Para m=1:
    Substituir nas equações: r:\;(1-1)x+1\cdot y-1=0\\ \Rightarrow\\ y-1=0 \\ \Rightarrow\\ y=1,
s:\;(1-1)x+(1+1)y+1=0\\ \Rightarrow\\\ 2y+1=0\\ \Rightarrow\\ y=-\tfrac{1}{2}.
As duas retas têm coeficientes a_1=a_2=0 e são retas horizontais com ordens diferentes; portanto são paralelas distintas (sem ponto comum).
  • Para m=-\tfrac{1}{2}:
    Substituindo: m-1=-\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{3}{2},\quad m=-\tfrac{1}{2},então a reta r é -\tfrac{3}{2}x-\tfrac{1}{2}y-1=0.Multiplicando por -2 obtemos 3x+y+2=0.Para s, com m=-\tfrac{1}{2}: 1-m=1-(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{2},\quad m+1=-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2},então \tfrac{3}{2}x+\tfrac{1}{2}y+1=0,que, multiplicando por 2, também dá 3x+y+2=0.Assim, para m=-\tfrac{1}{2} as duas equações representam exatamente a mesma reta: são coincidentes (infinitas interseções).

Passo 7

Resumo final (classificação completa):
  • Se m\neq1 e m\neq-\tfrac{1}{2}: as retas r e s são concorrentes (se cruzam) e o ponto de interseção é \left(\dfrac{1}{m-1},0\right).
  • Se m=1: as retas são paralelas distintas (não têm pontos em comum); explicitamente r:\;y=1 e s:\;y=-\tfrac{1}{2}.
  • Se m=-\tfrac{1}{2}: as retas são coincidentes; equação comum 3x+y+2=0.

Resposta

Se m\neq1 e m\neq-\tfrac{1}{2}: r e s são concorrentes em \left(\dfrac{1}{m-1},0\right).
Se m=1: r e s são paralelas distintas ( r:\;y=1,\;s:\;y=-\tfrac{1}{2}).
Se m=-\tfrac{1}{2}: r e s são coincidentes (mesma reta 3x+y+2=0).

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