(3,0) Sejam x=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 5\end{array}\right], \mathcal{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e \mathcal{C}=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} em \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontre a matriz de mudança de base [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.
(b) Encontre o vetor de coordenadas [x]_{\mathcal{C}} usando o item (a).
Passo 1
O enunciado dá:
O vetor \displaystyle x=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]5\end{pmatrix}.
A base \displaystyle \mathcal{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} (base canônica).
A base \displaystyle \mathcal{C}=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}.
Pede-se:
(a) Encontrar a matriz de mudança de base \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.
(b) Usando (a), encontrar o vetor de coordenadas \displaystyle [x]_{\mathcal{C}}.]
Passo 2
O que é a matriz \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (explicação didática e simples).
A matriz \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} representa a transformação identidade escrita em coordenadas: converte coordenadas de um vetor em relação à base \mathcal{C} para coordenadas em relação à base \mathcal{B}.
Uma maneira prática e muito usada: as colunas de \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} são exatamente as coordenadas, na base \mathcal{B}, dos vetores da base \mathcal{C}.
Como \mathcal{B} é a base canônica, as coordenadas, na base \mathcal{B}, de um vetor em \mathbb{R}^3 são simplesmente as suas componentes usuais.
Resumo curto: para montar \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} colocar como colunas os vetores de \mathcal{C} escritos na base canônica.