(3,0) Sejam x=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 5\end{array}\right], \mathcal{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e \mathcal{C}=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} em \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontre a matriz de mudança de base [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.
(b) Encontre o vetor de coordenadas [x]_{\mathcal{C}} usando o item (a).

Passo 1

O enunciado dá:
  • O vetor \displaystyle x=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]5\end{pmatrix}.
  • A base \displaystyle \mathcal{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} (base canônica).
  • A base \displaystyle \mathcal{C}=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}.
Pede-se:
(a) Encontrar a matriz de mudança de base \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.
(b) Usando (a), encontrar o vetor de coordenadas \displaystyle [x]_{\mathcal{C}}.]

Passo 2

O que é a matriz \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (explicação didática e simples).
  • A matriz \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} representa a transformação identidade escrita em coordenadas: converte coordenadas de um vetor em relação à base \mathcal{C} para coordenadas em relação à base \mathcal{B}.
  • Uma maneira prática e muito usada: as colunas de \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} são exatamente as coordenadas, na base \mathcal{B}, dos vetores da base \mathcal{C}.
  • Como \mathcal{B} é a base canônica, as coordenadas, na base \mathcal{B}, de um vetor em \mathbb{R}^3 são simplesmente as suas componentes usuais.
Resumo curto: para montar \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} colocar como colunas os vetores de \mathcal{C} escritos na base canônica.

Passo 3

Construindo \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} explicitamente.
  • Os vetores de \mathcal{C} são \displaystyle v_1=(1,1,0), \displaystyle v_2=(0,1,1), \displaystyle v_3=(1,0,1).
  • Escrevendo-os como colunas (na base canônica \mathcal{B}) obtemos a matriz:
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Isto é porque a primeira coluna é v_1, a segunda é v_2 e a terceira é v_3.]

Passo 4

Como usar \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} para achar \displaystyle [x]_{\mathcal{C}}.
  • Relação fundamental: \displaystyle [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\,[x]_{\mathcal{C}}=[x]_{\mathcal{B}}.
  • Aqui \displaystyle [x]_{\mathcal{B}} são as coordenadas de x na base canônica, ou seja
[x]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]5\end{pmatrix}.
  • Portanto temos o sistema linear matricial
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]5\end{pmatrix},
onde \displaystyle [x]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver o sistema por substituição (passo a passo).
Das equações matriciais obtemos o sistema escalar:
\begin{cases} \alpha + \gamma = 3,\\[4pt] \alpha + \beta = 1,\\[4pt] \beta + \gamma = 5. \end{cases}
  • Da segunda equação: \displaystyle \beta=1-\alpha.
  • Substituindo na terceira: \displaystyle (1-\alpha)+\gamma=5\Rightarrow \gamma=5-(1-\alpha)=4+\alpha.
  • Substituindo \displaystyle \gamma na primeira: \displaystyle \alpha+(4+\alpha)=3\Rightarrow 2\alpha+4=3\Rightarrow 2\alpha=-1\Rightarrow \alpha=-\tfrac{1}{2}.
  • Então \displaystyle \beta=1-\alpha=1-(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{2}.
  • E \displaystyle \gamma=4+\alpha=4+(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{7}{2}.]

Passo 6

Verificação rápida (pra ficar seguro e aprender como checar na prova).
  • Calcular combinação linear:
-\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +\tfrac{3}{2}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} +\tfrac{7}{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]5\end{pmatrix},
confere com x. Logo os cálculos estão corretos.]

Resposta

[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
[x]_{\mathcal{C}}= \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2}\\[6pt]\tfrac{3}{2}\\[6pt]\tfrac{7}{2} \end{pmatrix}]

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