(1,0) Sejam \mathcal{B} e \mathcal{C} bases de \mathcal{P}_{2}, onde \mathcal{B}=\left\{x, 1+x^{2}, x+x^{2}\right\} e [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
Encontre a matriz [I]_{B}^{\mathcal{C}}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathcal{P}_2 e uma matriz associada à transformação identidade entre essas bases. Dados fornecidos:
  • \mathcal{B}=\{x,\;1+x^{2},\;x+x^{2}\}.
  • A matriz [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é
\left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
O que o enunciado pede: encontrar a matriz [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}.]

Passo 2

Entendimento do que precisamos calcular (sem resolver ainda).
  • A matriz [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} transforma coordenadas de um vetor na base \mathcal{B} para coordenadas na base \mathcal{C}. Em notação: se [v]_{\mathcal{B}} são as coordenadas de v em \mathcal{B}, então
[v]_{\mathcal{C}}=\big[I\big]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{B}}.
  • Portanto, a matriz que faz o caminho inverso (converter coordenadas de \mathcal{C} para \mathcal{B}) é a inversa dessa matriz. Ou seja:
\big[I\big]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=\big(\big[I\big]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\big)^{-1}.
Logo basta calcular a inversa da matriz dada.

Passo 3

Apresentar a matriz dada e preparar para invertê-la por eliminação (Gauss–Jordan). Denotando
A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
vamos calcular A^{-1} montando a matriz aumentada [A\mid I] e aplicando operações elementares de linha até obter [I\mid A^{-1}].]

Passo 4

Escrevendo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2 (assim temos pivô 1 no início):
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Eliminar abaixo do pivô da primeira coluna (zerar a entrada em R_2, coluna 1):
Operação: R_2 := R_2 + R_1.
Cálculo linha a linha:
  • Nova R_2: (-1)+1=0,\;1+0=1,\;-1+1=0 e à direita 1+0=1,\;0+1=1,\;0+0=0.
    Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora queremos zerar a entrada em R_3, coluna 2 (usar pivô em R_2, coluna 2). Operação: R_3 := R_3 - R_2.
Cálculo:
  • Nova R_3: 0-0=0,\;1-1=0,\;1-0=1 e à direita 0-1=-1,\;0-1=-1,\;1-0=1.
    Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora já temos pivôs 1 nas três colunas da parte esquerda. Precisamos zerar as entradas acima do pivô da terceira coluna (que está em R_3, coluna 3). Operação: R_1 := R_1 - R_3.
Cálculo:
  • Nova R_1: 1-0=1,\;0-0=0,\;1-1=0 e à direita 0-(-1)=1,\;1-(-1)=2,\;0-1=-1.
    Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 8

Verificação rápida: a parte esquerda já é a matriz identidade I_3. Portanto a parte direita é a inversa A^{-1}. Assim:
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Concluímos que [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=A^{-1}. Este é o resultado pedido.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}]

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