Sejam \mathrm{F}: \mathfrak{N}^{3} \rightarrow \mathfrak{N}^{2} e \mathrm{G}: \mathfrak{N}^{3} \rightarrow \mathfrak{N}^{2} as transformações lineares definidas por \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{z}) e \mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}, \mathrm{y},-\mathrm{z}). Determinar as seguintes transformações lineares de \mathfrak{N}^{3} em \mathfrak{N}^{2} :
F + G

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • F:\mathfrak{N}^{3}\to\mathfrak{N}^{2} definida por F(x,y,z)=(x+y,z).
  • G:\mathfrak{N}^{3}\to\mathfrak{N}^{2} definida por G(x,y,z)=(x,y,-z).
    O que se pede: determinar a transformação linear F+G:\mathfrak{N}^{3}\to\mathfrak{N}^{2}.
Observação importante (extraída do próprio enunciado): a fórmula dada para G, isto é G(x,y,z)=(x,y,-z), apresenta três coordenadas, enquanto o codomínio declarado é \mathfrak{N}^{2} (que exige pares). Há, portanto, uma inconsistência entre a especificação do codomínio de G e a expressão fornecida para G(x,y,z).

Passo 2

Relembrando o conceito necessário para somar transformações lineares (aula rápida):
  • Se F e G são transformações lineares com o mesmo domínio e o mesmo codomínio, a soma F+G é definida ponto a ponto por
(F+G)(v)=F(v)+G(v)
para todo vetor v do domínio.
  • A soma à direita é a soma de vetores no espaço que é o codomínio; portanto é obrigatório que F(v) e G(v) pertençam ao mesmo espaço e tenham o mesmo número de coordenadas para que a soma faça sentido (adição coordenada a coordenada).

Passo 3

Aplicando a ideia geral ao caso:
  • Se existisse uma função G:\mathfrak{N}^{3}\to\mathfrak{N}^{2} escrita de forma coerente como G(x,y,z)=(g_{1}(x,y,z),\,g_{2}(x,y,z)), então teríamos, para todo (x,y,z),
(F+G)(x,y,z)=\bigl(x+y+g_{1}(x,y,z),\;z+g_{2}(x,y,z)\bigr).
Isto é, soma-se as primeiras componentes e soma-se as segundas componentes.

Passo 4

Conclusão com relação ao enunciado recebido:
  • Não é possível calcular explicitamente F+G a partir dos dados fornecidos, porque a expressão dada para G(x,y,z)=(x,y,-z) tem três coordenadas e, portanto, não pertence a \mathfrak{N}^{2} como declarado. Sem corrigir essa inconsistência (ou sem saber qual era a forma correta pretendida para G), não há como realizar a soma F+G de maneira rigorosa.

Resposta

Não é possível determinar (F+G) porque a expressão fornecida para G fornece três coordenadas (tuple (x,y,-z)), em desacordo com o codomínio declarado \mathfrak{N}^{2}; assim F(x,y,z) e G(x,y,z) não estão no mesmo espaço para que a soma seja definida.

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