Sejam \mathrm{F}: \mathfrak{N}^{3} \rightarrow \mathfrak{N}^{2} e \mathrm{G}: \mathfrak{N}^{3} \rightarrow \mathfrak{N}^{2} as transformações lineares definidas por \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{z}) e \mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}, \mathrm{y},-\mathrm{z}). Determinar as seguintes transformações lineares de \mathfrak{N}^{3} em \mathfrak{N}^{2} :
2 \mathrm{~F}-3 \mathrm{G}

Passo 1

O enunciado nos dá as transformações lineares
\mathrm{F}:\mathfrak{N}^{3}\to\mathfrak{N}^{2},\qquad \mathrm{F}(x,y,z)=(x+y,\;z)
e
\mathrm{G}:\mathfrak{N}^{3}\to\mathfrak{N}^{2},\qquad \mathrm{G}(x,y,z)=(x,\;y,\;-z).
O que nos é pedido é determinar a transformação linear 2\mathrm{F}-3\mathrm{G} (isto é, a combinação linear 2F+(-3)G).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A transformação \mathrm{F} está descrita como um vetor de duas coordenadas (x+y,\;z).
  • A transformação \mathrm{G} está escrita como (x,\;y,\;-z), que é um vetor de três coordenadas.
  • A operação pedida é a combinação linear 2\mathrm{F}-3\mathrm{G}.
Observação crítica (não é resolução ainda): há uma incompatibilidade entre a declaração do domínio/codomínio e a forma das imagens fornecidas para \mathrm{G} — isto será tratado no Passo 3.

Passo 2

Conceito e regra prática para combinar transformações lineares (a “aula rapidinha”):
  • Se V e W são espaços vetoriais e F,G:V\to W são transformações lineares, então, para escalares a,b, a combinação aF+bG é uma transformação linear V\to W definida por
(aF+bG)(v)=a\,F(v)+b\,G(v)\quad\text{para todo }v\in V.
  • Ou seja: primeiro aplica-se F e G ao mesmo vetor v; em seguida escala-se cada imagem por a e b e soma-se as imagens resultantes em W.
  • Quando trabalhamos com coordenadas (por exemplo V=\mathfrak{N}^3 e W=\mathfrak{N}^2), essa soma e multiplicação escalar são feitas componente a componente. Exemplo genérico: se
F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),\;F_2(x,y,z))
e
G(x,y,z)=(G_1(x,y,z),\;G_2(x,y,z)),
então
(aF+bG)(x,y,z)=\bigl(aF_1(x,y,z)+bG_1(x,y,z),\;aF_2(x,y,z)+bG_2(x,y,z)\bigr).
  • Importante: para que aF+bG esteja bem definida, F e G devem ter o mesmo domínio e o mesmo codomínio W. Se as imagens de F e G tiverem números diferentes de componentes (por exemplo uma em \mathfrak{N}^2 e outra em \mathfrak{N}^3), a soma não faz sentido.

Passo 3

Aplicando o que foi aprendido ao enunciado: aqui aparece um problema de consistência.
  • A definição dada para \mathrm{F} é coerente com \mathrm{F}:\mathfrak{N}^{3}\to\mathfrak{N}^{2}, pois \mathrm{F}(x,y,z)=(x+y,\;z) tem duas componentes.
  • A expressão dada para \mathrm{G} é \mathrm{G}(x,y,z)=(x,\;y,\;-z), que tem três componentes. Isso é incompatível com a afirmação de que \mathrm{G}:\mathfrak{N}^{3}\to\mathfrak{N}^{2}.
  • Como explicado no Passo 2, não é possível somar ou subtrair transformações cujo codomínio difere (a soma é definida somente quando ambas as imagens estão no mesmo espaço W). Portanto, com os dados tal como estão escritos, a expressão 2\mathrm{F}-3\mathrm{G} não está bem definida e não se pode determinar a transformação resultante sem corrigir essa inconsistência.

Passo 4

O que eu faria em prova / como proceder para obter a resposta, se fosse preciso dar uma forma concreta:
  • Primeiro pediria (ou verificaria) qual é a forma correta de \mathrm{G}: deve ser um par (duas coordenadas) para ter mesmo codomínio que \mathrm{F}. Sem essa correção não se pode dar uma resposta definitiva.
  • Para aprendizado prático, mostro um caso hipotético (apenas para ilustrar o cálculo), supondo que a forma correta de \mathrm{G} fosse a de um par de coordenadas. Por exemplo, se por hipótese \mathrm{G}(x,y,z)=(x,\;y) (ou seja, o “ -z” no enunciado fosse um erro de digitação), então aplicaríamos a regra do Passo 2: 2\mathrm{F}(x,y,z)=2(x+y,\;z)=(2x+2y,\;2z),
3\mathrm{G}(x,y,z)=3(x,\;y)=(3x,\;3y),
e portanto
(2\mathrm{F}-3\mathrm{G})(x,y,z)=(2x+2y-3x,\;2z-3y)=(-x+2y,\;2z-3y).
  • Reforçando: o cálculo acima é apenas um exemplo hipotético para mostrar o procedimento; só vale se realmente \mathrm{G} tiver sido pretendida como (x,y). Sem confirmação da forma correta de \mathrm{G} não se pode afirmar que essa seja a resposta do enunciado original.

Resposta

Não é possível determinar 2\mathrm{F}-3\mathrm{G} com os dados fornecidos, pois a expressão dada para \mathrm{G} \mathrm{G}(x,y,z)=(x,\;y,\;-z) — tem três componentes, incompatível com o codomínio declarado \mathfrak{N}^{2}; portanto a combinação 2\mathrm{F}-3\mathrm{G} não está bem definida até que essa inconsistência seja corrigida.

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