Sejam
e
as transformações lineares definidas por
e
. Determinar as seguintes transformações lineares de
em
:
Passo 1
O enunciado nos dá as transformações lineares
e
O que nos é pedido é determinar a transformação linear
(isto é, a combinação linear
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A transformação
está descrita como um vetor de duas coordenadas . - A transformação
está escrita como , que é um vetor de três coordenadas. - A operação pedida é a combinação linear
.
Observação crítica (não é resolução ainda): há uma incompatibilidade entre a declaração do domínio/codomínio e a forma das imagens fornecidas para
— isto será tratado no Passo 3.
Passo 2
Conceito e regra prática para combinar transformações lineares (a “aula rapidinha”):
- Se
e são espaços vetoriais e são transformações lineares, então, para escalares , a combinação é uma transformação linear definida por
- Ou seja: primeiro aplica-se
e ao mesmo vetor ; em seguida escala-se cada imagem por e e soma-se as imagens resultantes em . - Quando trabalhamos com coordenadas (por exemplo
e ), essa soma e multiplicação escalar são feitas componente a componente. Exemplo genérico: se
e
então
- Importante: para que
esteja bem definida, e devem ter o mesmo domínio e o mesmo codomínio . Se as imagens de e tiverem números diferentes de componentes (por exemplo uma em e outra em ), a soma não faz sentido.
Passo 3
Aplicando o que foi aprendido ao enunciado: aqui aparece um problema de consistência.
- A definição dada para
é coerente com , pois tem duas componentes. - A expressão dada para
é , que tem três componentes. Isso é incompatível com a afirmação de que . - Como explicado no Passo 2, não é possível somar ou subtrair transformações cujo codomínio difere (a soma é definida somente quando ambas as imagens estão no mesmo espaço
). Portanto, com os dados tal como estão escritos, a expressão não está bem definida e não se pode determinar a transformação resultante sem corrigir essa inconsistência.
Passo 4
O que eu faria em prova / como proceder para obter a resposta, se fosse preciso dar uma forma concreta:
- Primeiro pediria (ou verificaria) qual é a forma correta de
: deve ser um par (duas coordenadas) para ter mesmo codomínio que . Sem essa correção não se pode dar uma resposta definitiva. - Para aprendizado prático, mostro um caso hipotético (apenas para ilustrar o cálculo), supondo que a forma correta de
fosse a de um par de coordenadas. Por exemplo, se por hipótese (ou seja, o “ ” no enunciado fosse um erro de digitação), então aplicaríamos a regra do Passo 2:
e portanto
- Reforçando: o cálculo acima é apenas um exemplo hipotético para mostrar o procedimento; só vale se realmente
tiver sido pretendida como . Sem confirmação da forma correta de não se pode afirmar que essa seja a resposta do enunciado original.
Resposta
Não é possível determinar
com os dados fornecidos, pois a expressão dada para
—
— tem três componentes, incompatível com o codomínio declarado
; portanto a combinação
não está bem definida até que essa inconsistência seja corrigida.