Sejam \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right] e \quad \mathrm{D}=\left[\begin{array}{ll}2 & -1\end{array}\right]
Calcule, se possível senão justifique:
2B-A

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 4\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2 & -1\end{pmatrix}.
A pergunta é: calcular, se possível, \;2B-A.]

Passo 2

Vamos pensar qual operação é necessária e se é possível aplicá‑la. A expressão \;2B-A envolve:
  • multiplicação de uma matriz por escalar ( 2B), e
  • subtração de matrizes ( 2B-A).
Essas operações são definidas elemento a elemento e exigem que as matrizes envolvidas tenham as mesmas dimensões. Ambas A e B têm dimensão 2\times3 (duas linhas e três colunas), então a subtração é possível. Agora aplicamos as operações passo a passo.

Passo 3

Regra: a multiplicação de uma matriz B=(b_{ij}) por um escalar k resulta na matriz kB cujos elementos são k b_{ij} para cada índice i,j. Ou seja,
(kB)_{ij}=k\cdot b_{ij}.
Aplicaremos isso com k=2 sobre cada entrada de B.

Passo 4

Calcular 2B multiplicando cada entrada de B por 2:
B=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad 2B=\begin{pmatrix}2\cdot(-2) & 2\cdot 0 & 2\cdot 1 \\[4pt] 2\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4 & 0 & 2 \\[4pt] 6 & 0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Regra: a subtração de matrizes X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}) de mesma dimensão é feita elemento a elemento:
(X-Y)_{ij}=x_{ij}-y_{ij}.
Já verificamos que 2B e A são ambas 2\times3, então podemos subtrair elemento a elemento.

Passo 6

Fazer a subtração 2B-A elemento a elemento. Escrevendo lado a lado:
2B=\begin{pmatrix}-4 & 0 & 2 \\[4pt] 6 & 0 & 2\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Agora computar cada entrada:
Linha 1:
-4-1=-5,\qquad 0-2=-2,\qquad 2-3=-1.
Linha 2:
6-2=4,\qquad 0-1=-1,\qquad 2-(-1)=2+1=3.
Portanto
2B-A=\begin{pmatrix}-5 & -2 & -1 \\[4pt] 4 & -1 & 3\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}-5 & -2 & -1 \\[4pt] 4 & -1 & 3\end{pmatrix}]

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