Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 / 2 \\\\ 0 & 1 / 3 \\\\ 2 & 2 \\\\ -2 & 1 / 2\end{array}\right]. Determine o que se pede
a_{12}-3 a_{31}+4 a_{42}^{2}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & \dfrac{1}{3}\\[4pt] 2 & 2\\[4pt] -2 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}
e pede para calcular a expressão
a_{12}-3a_{31}+4a_{42}^{2}.
Informações relevantes que foram dadas:
  • A matriz A tem 4 linhas e 2 colunas.
  • Cada entrada é indicada por a_{ij}, onde i é o número da linha e j o número da coluna.
  • A tarefa é apenas avaliar a expressão numérica indicada.]

Passo 2

Entendendo a notação: a_{ij} significa "entrada da matriz na linha i e coluna j". Exemplos com a nossa matriz:
  • a_{11} é o elemento na linha 1, coluna 1.
  • a_{12} é o elemento na linha 1, coluna 2.
    Vou usar isso para pegar os valores certos na matriz.

Passo 3

Determinar a_{12}. Olhando a linha 1 e coluna 2 da matriz, temos
a_{12} = -\dfrac{1}{2}.
Explicação rápida: a primeira linha é \bigl(1,\,-\tfrac{1}{2}\bigr), então o segundo elemento dessa linha é -\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Determinar a_{31}. Olhando a linha 3 e coluna 1 da matriz, temos
a_{31} = 2.
Explicação: a terceira linha é (2,\,2), então o primeiro elemento é 2.

Passo 5

Determinar a_{42} e calcular a_{42}^{2}. Olhando a linha 4 e coluna 2, temos
a_{42} = \dfrac{1}{2}.
Agora elevando ao quadrado:
a_{42}^{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
Observação sobre frações: para elevar \dfrac{p}{q} ao quadrado calcula-se \dfrac{p^{2}}{q^{2}}. Aqui p=1, q=2, então \dfrac{1^{2}}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}.

Passo 6

Substituir os valores na expressão e calcular passo a passo:
a_{12}-3a_{31}+4a_{42}^{2} = -\dfrac{1}{2} - 3\cdot 2 + 4\cdot \dfrac{1}{4}.
Calcule cada produto:
-3\cdot 2 = -6,\qquad 4\cdot \dfrac{1}{4}=1.
Portanto
-\dfrac{1}{2} -6 +1 = -\dfrac{1}{2} -5.
Para somar uma fração com um inteiro, transforme o inteiro em fração com mesmo denominador:
-5 = -\dfrac{10}{2},
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-\dfrac{1}{2} -5 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{10}{2} = -\dfrac{11}{2}.
Se preferir em decimal, -\dfrac{11}{2} = -5{,}5.

Resposta

-\dfrac{11}{2}

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