Em cada um dos itens abaixo, construa a matriz A_{\mathrm{mxn}} cujo elemento a_{i j} é dado.
m=3, n=3, a_{i j}=(-1)^{i+j}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dado m=3 e n=3.
  • O elemento geral da matriz é a_{ij}=(-1)^{i+j}.
  • O pedido: construir a matriz A_{\mathrm{3\times3}} cujos elementos são esses.

Passo 2

Entendendo a regra a_{ij}=(-1)^{i+j}.
  • Lembrete rápido sobre potências de -1: se o expoente é par, (-1)^{\text{par}}=1; se o expoente é ímpar, (-1)^{\text{ímpar}}=-1í.
  • Portanto, para cada par (i,j) basta ver a paridade de i+j:
    • se i+j é par \Rightarrow a_{ij}=1,
    • se i+j é ímpar \Rightarrow a_{ij}=-1.
  • Observação útil: i+j é par exatamente quando i e j têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares); é ímpar quando paridades são diferentes.

Passo 3

Calculando a primeira linha ( i=1):
  • Para j=1: i+j=1+1=2 (par), então a_{11}=(-1)^{2}=1.
  • Para j=2: i+j=1+2=3 (ímpar), então a_{12}=(-1)^{3}=-1.
  • Para j=3: i+j=1+3=4 (par), então a_{13}=(-1)^{4}=1.
    Logo a primeira linha é (1,\,-1,\,1).

Passo 4

Calculando a segunda linha ( i=2):
  • Para j=1: i+j=2+1=3 (ímpar), então a_{21}=(-1)^{3}=-1.
  • Para j=2: i+j=2+2=4 (par), então a_{22}=(-1)^{4}=1.
  • Para j=3: i+j=2+3=5 (ímpar), então a_{23}=(-1)^{5}=-1.
    Logo a segunda linha é (-1,\,1,\,-1).

Passo 5

Calculando a terceira linha ( i=3):
  • Para j=1: i+j=3+1=4 (par), então a_{31}=(-1)^{4}=1.
  • Para j=2: i+j=3+2=5 (ímpar), então a_{32}=(-1)^{5}=-1.
  • Para j=3: i+j=3+3=6 (par), então a_{33}=(-1)^{6}=1.
    Logo a terceira linha é (1,\,-1,\,1).

Passo 6

Montando a matriz A juntando as três linhas calculadas:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}]

Passo 7

Dicas rápidas que ajudam na prova:
  • Reconhecer padrões evita calcular elemento a elemento: aqui aparece um padrão de “tabuleiro” (checkerboard) de 1 e -1.
  • Outra forma útil: a_{ij}=(-1)^{i+j}=(-1)^i(-1)^j. Logo A é o produto externo u v^{\!T} com u=( (-1)^1,(-1)^2,(-1)^3)^{T}=(-1,1,-1)^{T} e v=( (-1)^1,(-1)^2,(-1)^3)^{T}=(-1,1,-1)^{T}. Isso mostra rapidamente propriedades como posto ( \mathrm{rank}=1) sem calcular determinantes.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

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