Em cada um dos itens abaixo, construa a matriz
cujo elemento
é dado.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dado
e . - O elemento geral da matriz é
. - O pedido: construir a matriz
cujos elementos são esses.
Passo 2
Entendendo a regra
.
- Lembrete rápido sobre potências de
: se o expoente é par, ; se o expoente é ímpar, . - Portanto, para cada par
basta ver a paridade de : - se
é par , - se
é ímpar .
- se
- Observação útil:
é par exatamente quando e têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares); é ímpar quando paridades são diferentes.
Passo 3
Calculando a primeira linha (
):
- Para
: (par), então . - Para
: (ímpar), então . - Para
: (par), então .
Logo a primeira linha é.
Passo 4
Calculando a segunda linha (
):
- Para
: (ímpar), então . - Para
: (par), então . - Para
: (ímpar), então .
Logo a segunda linha é.
Passo 5
Calculando a terceira linha (
):
- Para
: (par), então . - Para
: (ímpar), então . - Para
: (par), então .
Logo a terceira linha é.
Passo 6
Montando a matriz
juntando as três linhas calculadas:
Passo 7
Dicas rápidas que ajudam na prova:
- Reconhecer padrões evita calcular elemento a elemento: aqui aparece um padrão de “tabuleiro” (checkerboard) de
e . - Outra forma útil:
. Logo é o produto externo com e . Isso mostra rapidamente propriedades como posto ( ) sem calcular determinantes.