Sejam:
Número de dias de funcionamento em um mês
receita do i-ésimo dia,
, com
e
para cada i
Despesa mensal = D=12000 (constante)
Lucro mensal
(a) Para
dias
Pelo TCL,
é aproximadamente
. Então,
(b) Para
dias. Agora
(constante desconhecida)
Pelo TCL,
é aproximadamente
Então,
Daí,
, o que implica que
reais.
Despesa mensal = D=12000 (constante)
Lucro mensal
(a) Para
Pelo TCL,
Pelo TCL,
Então,
Daí,
Passo 1
Vou organizar certinho o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
-
Informações fornecidas:
-
número de dias de funcionamento no mês (pode variar). -
receita do -ésimo dia, . - Para cada
: e . (Note: é o desvio padrão.) - Despesa mensal
(constante). - Lucro mensal
.
-
-
O que o enunciado pede:
- (a) Para
: calcular . - (b) Para
: agora é desconhecida; encontrar tal que , isto é
- (a) Para
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicando passo a passo, porque é isso que cai na prova):
-
Esperança e variância da soma de variáveis independentes:
- Se as variáveis
são independentes (assumimos isso, pois é padrão nestes problemas), então para a soma vale e - Aqui a relação entre variância e desvio padrão:
. No problema , logo .
- Se as variáveis
-
Teorema Central do Limite (TCL):
- O TCL diz, informalmente, que a soma (ou média) de muitas variáveis independentes, com média e variância finitas, é aproximadamente normal quando
é “grande”. - Mais precisamente,
tem aproximadamente distribuição normal com média e variância . - Para fazer probabilidade, padronizamos: se
é aproximadamente , então onde e .
- O TCL diz, informalmente, que a soma (ou média) de muitas variáveis independentes, com média e variância finitas, é aproximadamente normal quando
-
Uso das tabelas/quantis da normal padrão:
-
é a função distribuição da normal padrão. - Se precisamos de
tal que , então é o quantil superior: . Em particular, porque . - É comum aproximar
por se se deseja menos precisão; eu usarei quando preciso de 2–3 casas.
-
Vamos aplicar essas ideias nos itens (a) e (b).
Passo 3
Resolvendo (a):
, com
e
.
-
Calcular média e desvio padrão da soma
. - Média:
- Variância:
- Desvio padrão:
- Média:
-
Queremos
-
Padronizar usando a normal aproximada:Calcular o numerador:Logo o
-valor é
Passo 4
Continuação de (a): interpretar o
-valor e obter a probabilidade.
-
TemosPela simetria da normal padrão,
-
Consultando tabela da normal padrão ou usando aproximação,
. (Se a tabela der ou , aceita-se pequenas variações de arredondamento.) -
Portanto
Explicação prática: isso significa que, com as médias e variâncias dadas, em 25 dias a probabilidade do lucro ultrapassar R$7000 é cerca de 74,75% — um valor razoável porque a média da soma é R$20000, bem acima de R$19000.
Passo 5
Resolvendo (b):
, agora
desconhecida;
conhecida. Queremos
tal que
-
Calcular média e desvio padrão de
em termos de . - Média:
- Variância:
- Desvio padrão:
- Média:
-
Usando a aproximação normal:
-
Determine o quantil correspondente: queremos
. Isso significa que é tal que , ou seja (porque ). Em palavras: para que apenas 5% da curva esteja à esquerda, o ponto é ; então 95% está à direita desse ponto. -
Assim colocamos
Passo 6
Isolando
e calculando numericamente (passo a passo para conseguir na prova sem perder conta):
-
Multiplicar ambos os lados por
: -
Passar
para o lado direito e o termo numérico para o esquerdo: -
Dividir por
: -
Calcular numericamente (vou mostrar os subpassos numéricos):
-
. -
-
(aprox). - Somando:
- Dividindo por
: .
-
-
Arredondando para centavos (duas casas):
reais.
Observação sobre arredondamentos: se alguém usar
em vez de
vai obter um número muito próximo (
com
). O convencional para o quantil 95% é
.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida (como revisar em prova):
- Para (a) o cálculo direto deu
. Faz sentido: média total em 25 dias é R$20.000; pedir mais que R$19.000 é uma condição bastante provável. - Para (b) o valor encontrado
significa: se a receita média diária for cerca de R$1.060,35 (com desvio padrão diário R$300), então em um mês de 20 dias a probabilidade de o lucro exceder R$7.000 será 95%. Dá para checar substituindo na fórmula e obtendo o z próximo de .
Dica prática para a prova: escreva bem as médias e desvios da soma (multiplicar por
), padronize com raiz de
, e saiba de cor que
(isso salva quando pedem 95% de cauda).