Sejam:
\mathrm{n}= Número de dias de funcionamento em um mês
\mathrm{X}_{i}= receita do i-ésimo dia, \mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}, com \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=800 e \mathrm{DP}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=300 para cada i
Despesa mensal = D=12000 (constante)
Lucro mensal =\mathrm{L}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}-D=\sum_{i=1}^{n} X_{i}-12000
(a) Para \mathrm{n}=25 dias
P(L>7000)=P\left(\sum_{i=1}^{25} X_{i}-12000>7000\right)=P\left(\sum_{i=1}^{25} X_{i}>19000\right)
Pelo TCL, \sum_{i=1}^{25} X_{i} é aproximadamente \mathrm{N}\left(25 \times 800 ; 25 \times 300^{2}\right). Então,
\begin{aligned} P(L>7000) & =P\left(\frac{\sum_{i=1}^{25} X_{i}-25 \times 800}{300 \sqrt{25}}>\frac{19000-25 \times 800}{300 \sqrt{25}}\right)= \\\ & =P\left(Z>\frac{19000-20000}{1500}\right)=P(Z>-0,667)=0,7475 ; \end{aligned}
(b) Para \mathrm{n}=20 dias. Agora E\left(X_{i}\right)=\mu (constante desconhecida)
0,95=P(L>7000)=P\left(\sum_{i=1}^{20} X_{i}-12000>7000\right)=P\left(\sum_{i=1}^{20} X_{i}>19000\right)
Pelo TCL, \sum_{i=1}^{20} X_{i} é aproximadamente \mathrm{N}\left(20 \mu ; 20 \times 300^{2}\right)
Então, 0,95=P\left(\sum_{i=1}^{20} X_{i}>19000\right)=P\left(Z>\frac{19000-20 \mu}{300 \sqrt{20}}\right)
Daí, \frac{19000-20 \mu}{300 \sqrt{20}}=-1,64, o que implica que \mu=\frac{19000+1,64 \times 300 \sqrt{20}}{20}=1060,34 reais.

Passo 1

Vou organizar certinho o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Informações fornecidas:
    • \mathrm{n}= número de dias de funcionamento no mês (pode variar).
    • \mathrm{X}_{i}= receita do i-ésimo dia, i=1,2,\ldots,n.
    • Para cada i: \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=800 e \mathrm{DP}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=300. (Note: \mathrm{DP} é o desvio padrão.)
    • Despesa mensal D=12000 (constante).
    • Lucro mensal \mathrm{L}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}-D=\sum_{i=1}^{n} X_{i}-12000.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Para n=25: calcular P(L>7000)=P\!\left(\sum_{i=1}^{25}X_i-12000>7000\right)=P\!\left(\sum_{i=1}^{25}X_i>19000\right).
    • (b) Para n=20: agora \mathrm{E}(X_i)=\mu é desconhecida; encontrar \mu tal que P(L>7000)=0,95, isto é 0,95=P\!\left(\sum_{i=1}^{20}X_i-12000>7000\right)=P\!\left(\sum_{i=1}^{20}X_i>19000\right).

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicando passo a passo, porque é isso que cai na prova):
  1. Esperança e variância da soma de variáveis independentes:
    • Se as variáveis X_1,\dots,X_n são independentes (assumimos isso, pois é padrão nestes problemas), então para a soma S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i vale \mathrm{E}(S_n)=\sum_{i=1}^{n}\mathrm{E}(X_i)e \mathrm{Var}(S_n)=\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_i).
    • Aqui a relação entre variância e desvio padrão: \mathrm{Var}(X_i)=[\mathrm{DP}(X_i)]^{2}. No problema \mathrm{DP}(X_i)=300, logo \mathrm{Var}(X_i)=300^{2}=90000.
  2. Teorema Central do Limite (TCL):
    • O TCL diz, informalmente, que a soma (ou média) de muitas variáveis independentes, com média e variância finitas, é aproximadamente normal quando n é “grande”.
    • Mais precisamente, S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i tem aproximadamente distribuição normal com média \mathrm{E}(S_n) e variância \mathrm{Var}(S_n).
    • Para fazer probabilidade, padronizamos: se S_n é aproximadamente \mathrm{N}(\mu_{S},\sigma_{S}^{2}), então P(S_n>a)=P\!\left(Z>\frac{a-\mu_{S}}{\sigma_{S}}\right),onde Z\sim \mathrm{N}(0,1) e \sigma_{S}=\sqrt{\mathrm{Var}(S_n)}.
  3. Uso das tabelas/quantis da normal padrão:
    • \Phi(z)=P(Z\le z) é a função distribuição da normal padrão.
    • Se precisamos de z tal que P(Z>z)=\alpha, então z é o quantil superior: z=\Phi^{-1}(1-\alpha). Em particular, P(Z> -1{,}645)=0{,}95 porque \Phi(-1{,}645)=0{,}05.
    • É comum aproximar 1{,}645 por 1{,}64 se se deseja menos precisão; eu usarei 1{,}645 quando preciso de 2–3 casas.
Vamos aplicar essas ideias nos itens (a) e (b).

Passo 3

Resolvendo (a): n=25, com \mathrm{E}(X_i)=800 e \mathrm{DP}(X_i)=300.
  1. Calcular média e desvio padrão da soma S_{25}=\sum_{i=1}^{25}X_i.
    • Média: \mathrm{E}(S_{25})=25\times 800=20000.
    • Variância: \mathrm{Var}(S_{25})=25\times 300^{2}=25\times 90000=2250000.
    • Desvio padrão: \mathrm{SD}(S_{25})=\sqrt{2250000}=1500.
  2. Queremos
    P(L>7000)=P\!\left(S_{25}-12000>7000\right)=P\!\left(S_{25}>19000\right).
  3. Padronizar usando a normal aproximada:
    P\!\left(S_{25}>19000\right)=P\!\left(Z>\frac{19000-\mathrm{E}(S_{25})}{\mathrm{SD}(S_{25})}\right) =P\!\left(Z>\frac{19000-20000}{1500}\right).
    Calcular o numerador:
    19000-20000=-1000.
    Logo o z-valor é
    \frac{-1000}{1500}=-\frac{2}{3}\approx -0{,}666\overline{6}.

Passo 4

Continuação de (a): interpretar o z-valor e obter a probabilidade.
  1. Temos
    P\!\left(Z> -0{,}666\overline{6}\right).
    Pela simetria da normal padrão,
    P(Z>-0{,}667)=P(Z<0{,}667)=\Phi(0{,}667).
  2. Consultando tabela da normal padrão ou usando aproximação, \Phi(0{,}667)\approx 0{,}7475. (Se a tabela der 0{,}7480 ou 0{,}7474, aceita-se pequenas variações de arredondamento.)
  3. Portanto
    P(L>7000)\approx 0{,}7475.
Explicação prática: isso significa que, com as médias e variâncias dadas, em 25 dias a probabilidade do lucro ultrapassar R$7000 é cerca de 74,75% — um valor razoável porque a média da soma é R$20000, bem acima de R$19000.

Passo 5

Resolvendo (b): n=20, agora \mathrm{E}(X_i)=\mu desconhecida; \mathrm{DP}(X_i)=300 conhecida. Queremos \mu tal que
0{,}95=P\!\left(S_{20}-12000>7000\right)=P\!\left(S_{20}>19000\right).
  1. Calcular média e desvio padrão de S_{20}=\sum_{i=1}^{20}X_i em termos de \mu.
    • Média: \mathrm{E}(S_{20})=20\mu.
    • Variância: \mathrm{Var}(S_{20})=20\times 300^{2}=20\times 90000=1800000.
    • Desvio padrão: \mathrm{SD}(S_{20})=\sqrt{1800000}=300\sqrt{20}.
  2. Usando a aproximação normal:
    0{,}95=P\!\left(S_{20}>19000\right)=P\!\left(Z>\frac{19000-20\mu}{300\sqrt{20}}\right).
  3. Determine o quantil correspondente: queremos P(Z>z_0)=0{,}95. Isso significa que z_0 é tal que \Phi(z_0)=0{,}05, ou seja z_0\approx -1{,}645 (porque \Phi(-1{,}645)=0{,}05). Em palavras: para que apenas 5% da curva esteja à esquerda, o ponto é -1{,}645; então 95% está à direita desse ponto.
  4. Assim colocamos
    \frac{19000-20\mu}{300\sqrt{20}}=-1{,}645.

Passo 6

Isolando \mu e calculando numericamente (passo a passo para conseguir na prova sem perder conta):
  1. Multiplicar ambos os lados por 300\sqrt{20}:
    19000-20\mu=-1{,}645\times 300\sqrt{20}.
  2. Passar -20\mu para o lado direito e o termo numérico para o esquerdo:
    20\mu=19000+1{,}645\times 300\sqrt{20}.
  3. Dividir por 20:
    \mu=\frac{19000+1{,}645\times 300\sqrt{20}}{20}.
  4. Calcular numericamente (vou mostrar os subpassos numéricos):
    • \sqrt{20}\approx 4{,}472135955.
    • 300\sqrt{20}\approx 300\times 4{,}472135955\approx 1341{,}6407865.
    • 1{,}645\times 300\sqrt{20}\approx 1{,}645\times 1341{,}6407865\approx 2206{,}999 (aprox).
    • Somando: 19000+2206{,}999\approx 21206{,}999.
    • Dividindo por 20: \mu\approx 1060{,}34995.
  5. Arredondando para centavos (duas casas): \mu\approx 1060{,}35 reais.
Observação sobre arredondamentos: se alguém usar z=1{,}64 em vez de 1{,}645 vai obter um número muito próximo ( \mu\approx 1060{,}01 com 1{,}64). O convencional para o quantil 95% é 1{,}645.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida (como revisar em prova):
  • Para (a) o cálculo direto deu P(L>7000)\approx 0{,}7475. Faz sentido: média total em 25 dias é R$20.000; pedir mais que R$19.000 é uma condição bastante provável.
  • Para (b) o valor encontrado \mu\approx 1060{,}35 significa: se a receita média diária for cerca de R$1.060,35 (com desvio padrão diário R$300), então em um mês de 20 dias a probabilidade de o lucro exceder R$7.000 será 95%. Dá para checar substituindo \mu na fórmula e obtendo o z próximo de -1{,}645.
Dica prática para a prova: escreva bem as médias e desvios da soma (multiplicar por n), padronize com raiz de n, e saiba de cor que \Phi(-1{,}645)\approx 0{,}05 (isso salva quando pedem 95% de cauda).

Resposta

P(L>7000)\approx 0{,}7475
\mu\approx 1060{,}35\\ \text{reais}

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