(a) Para o processo estar fora de controle temos que ter \bar{X}<142,12 ou \bar{X}>156,19. Assim deseja-se obter: P(\bar{X}<142 ou \bar{X}>156 ).
Utilizando o TCL obtemos, \bar{X} \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^{2} / n\right). Então, \bar{X} \sim \mathcal{N}(148,9), assim:
\begin{aligned} P(\bar{X}<142 \text { ou } \bar{X}>156) & =P(\bar{X}<142)+P(\bar{X}>156) \\\ & =P\left(\frac{\bar{X}-148}{3}<\frac{142-148}{3}\right)+P\left(\frac{\bar{X}-148}{3}>\frac{156-148}{3}\right) \\\ & =P(Z<-2,00)+P(Z>2,67)=\Phi(-2)+(1-\Phi(2,67) \\\ & =(1-0,9772)+(1-0,9962)=0,0266 \end{aligned}
É necessário supor que as medições das espessuras são independentes entre si para utilizar o TCL.
(b) Sejam \mu, \sigma a média e o desvio-padrão do processo e n o tamanho da amostra. Como os limites são simétricos em torno da média temos:
\begin{aligned} \text { Limite inferior }(L I) & =\mu-d \\\ \text { Limite Superior }(L S) & =\mu+d \end{aligned}
onde d é uma constante.
Segue que:
\begin{aligned} 0,95 & =P(L I \leq \bar{X} \leq L S) \\\ & =P\left(\frac{L I-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leq \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leq \frac{L S-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\right) \\\ & =P\left(-\frac{d}{\sigma / \sqrt{n}} \leq Z \leq \frac{d}{\sigma / \sqrt{n}}\right) \\\ & =\Phi\left(\frac{d}{\sigma / \sqrt{n}}\right)-\Phi\left(-\frac{d}{\sigma / \sqrt{n}}\right) \\\ & =2 \Phi\left(\frac{d}{\sigma / \sqrt{n}}\right)-1 \end{aligned}
Sabemos que \mu=148, \sigma=3 e n=25, assim:
2 \Phi\left(\frac{d}{3}\right)-1=0,95 \Rightarrow d=3 \times \Phi^{-1}(0,975)=5,88
Assim os limites de controle seriam iguais a:
\begin{aligned} L S & =148+5,88=153,88 \text { mícrones } \\\ L I & =148-5,88=142,12 \text { mícrones } \end{aligned}íí

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede duas coisas:
    (a) calcular P(\bar{X}<142{,}12\\ \text{ou}\\ \bar{X}>156{,}19) (o enunciado mencionou esses limites);
    (b) encontrar limites de controle simétricos em torno de \mu tais que a probabilidade central seja 0{,}95 (ou seja, achar L_I=\mu-d e L_S=\mu+d com P(L_I\le\bar X\le L_S)=0{,}95).
  • Informações fornecidas (retiradas do enunciado / suposições claras):
    • \mu=148 (média do processo).
    • Foi usado o TCL e obtido \bar{X}\sim\mathcal{N}(148,9). Ou seja: \bar{X}\sim\mathcal{N}\bigl(148,\;9\bigr),portanto o desvio-padrão da média amostral é \sigma_{\bar X}=\sqrt{9}=3.
    • Em (b) aparece n=25 (essa informação confirma que \sigma_{\bar X}=\sigma/\sqrt{n}=3, mas para os cálculos abaixo basta saber \sigma_{\bar X}=3).
    • Pressuposto necessário para usar o TCL: as medições são independentes (e a amostra é suficientemente grande / ou a população é aproximadamente normal). O enunciado já observou isso; vamos manter.
Observação importante (para evitar confusão): o enunciado inicial dá dois valores para o limite superior em momentos diferentes ( 156{,}19 numa linha e depois aparece 156 usado nos cálculos do usuário). Vou calcular com o valor exato 156{,}19 (conforme pedido inicial) e também comentar rapidamente a diferença se alguém usar 156 por arredondamento.

Passo 2

Explicando a teoria que vamos usar (de maneira bem prática e passo a passo).
  • Teorema do Limite Central (TCL) aplicado à média amostral:
    • Se X_1,\dots,X_n são observações independentes com média \mu e variância finita \sigma^2, então para n grande (ou quando os X_i já são aproximadamente normais) vale aproximadamente \bar X \sim \mathcal{N}\bigl(\mu,\;\sigma^2/n\bigr).
    • Aqui escrevemos a variância da média amostral como \sigma_{\bar X}^2=\sigma^2/n e o desvio padrão da média amostral como \sigma_{\bar X}=\sigma/\sqrt{n}.
    • No nosso problema já foi fornecido (ou inferido) que \sigma_{\bar X}=3, então podemos trabalhar diretamente com \bar X \sim \mathcal{N}\bigl(148,\;3^2\bigr).
  • Como usar a tabela da Normal padrão:
    • Para transformar a média amostral em uma variável normal padrão Z, fazemos Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma_{\bar X}} \sim \mathcal{N}(0,1).
    • Assim probabilidades do tipo P(\bar X < a) viram P\!\bigl(Z < (a-\mu)/\sigma_{\bar X}\bigr).
    • Lembrete de propriedades úteis: \Phi(-z)=1-\Phi(z),\qquad P(Z>z)=1-\Phi(z),onde \Phi(z) é a função de distribuição da normal padrão.

Passo 3

Resolvendo (a): calcular P(\bar{X}<142{,}12\\ \text{ou}\\ \bar{X}>156{,}19) usando \bar X\sim\mathcal{N}(148,9).
  • Primeiro transformamos cada evento em Z.
    • Para o limite inferior 142{,}12: z_1=\frac{142{,}12-148}{3}=\frac{-5{,}88}{3}=-1{,}96.
    • Para o limite superior 156{,}19: z_2=\frac{156{,}19-148}{3}=\frac{8{,}19}{3}=2{,}73\\ (\text{aprox. }2{,}73).
  • Agora escrevemos a probabilidade pedida como soma das duas caudas (os eventos são mutuamente exclusivos):
    P(\bar X<142{,}12\\ \text{ou}\\ \bar X>156{,}19)=P(\bar X<142{,}12)+P(\bar X>156{,}19).
    Convertendo para Z:
    =P\bigl(Z<-1{,}96\bigr)+P\bigl(Z>2{,}73\bigr).
  • Usando a tabela (valores padrão):
    • \Phi(1{,}96)=0{,}9750, então \Phi(-1{,}96)=1-\Phi(1{,}96)=1-0{,}9750=0{,}0250.
    • \Phi(2{,}73)\approx 0{,}9968, então P(Z>2{,}73)=1-\Phi(2{,}73)\approx 1-0{,}9968=0{,}0032.
  • Somando:
    P(\bar X<142{,}12\\ \text{ou}\\ \bar X>156{,}19)\approx 0{,}0250+0{,}0032=0{,}0282.
Comentário sobre o cálculo do usuário: ele havia calculado algo próximo a 0{,}0266 porque usou 156 (outra aproximação) para o limite superior, obtendo z_2=(156-148)/3=2{,}67 e então P(Z>2{,}67)=1-0{,}9962=0{,}0038. Com z_1=-2{,}00 (que ocorre se usar 142 em vez de 142{,}12) e z_2=2{,}67 a soma dá 0{,}0228+0{,}0038=0{,}0266. Ou seja, pequenas diferenças de arredondamento nos limites mudam um pouco o resultado; o procedimento está correto, apenas é preciso usar os mesmos limites com precisão.

Passo 4

Resolvendo (b): encontrar limites simétricos L_I=\mu-d e L_S=\mu+d para que
P(L_I\le\bar X\le L_S)=0{,}95.
  • Transformando para Z:
    0{,}95=P\!\left(-\frac{d}{\sigma_{\bar X}}\le Z\le\frac{d}{\sigma_{\bar X}}\right) =2\Phi\!\left(\frac{d}{\sigma_{\bar X}}\right)-1.
    Portanto
    \Phi\!\left(\frac{d}{\sigma_{\bar X}}\right)=\frac{1+0{,}95}{2}=0{,}975.
  • Logo
    \frac{d}{\sigma_{\bar X}}=\Phi^{-1}(0{,}975)=1{,}96\quad(\text{valor tabelado}),
    e como \sigma_{\bar X}=3 temos
    d=3\times 1{,}96=5{,}88.
  • Assim os limites são
    L_S=\mu+d=148+5{,}88=153{,}88\\ \text{mícrones},í
L_I=\mu-d=148-5{,}88=142{,}12\\ \text{mícrones}.í
Comentário útil: com esses limites simétricos a probabilidade de a média amostral cair fora é 1-0{,}95=0{,}05. Por isso, se usar os limites calculados em (b) a probabilidade de sinalizar fora de controle (falso alarme) é 5\%.

Passo 5

Resumo e interpretação curta (pra você ir pra prova confiante):
  • Para calcular probabilidades fora dos limites transforme \bar X em Z=(\bar X-\mu)/\sigma_{\bar X} e use a tabela da normal padrão.
  • Tenha sempre atenção ao que representa \sigma na notação: aqui \sigma_{\bar X}=3 é o desvio da média amostral; a relação com o desvio da observação individual seria \sigma_{\bar X}=\sigma/\sqrt{n}.
  • Pequenas diferenças de arredondamento nos limites (por ex. usar 156 em vez de 156{,}19) mudam um pouco o valor final da probabilidade, mas o método é o mesmo.

Resposta

(a) P(\bar{X}<142{,}12\\ \text{ou}\\ \bar{X}>156{,}19)\approx 0{,}0282
(b) L_S=153{,}88\\ \text{mícrones}í
(b) L_I=142{,}12\\ \text{mícrones}í

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