(a) Para o processo estar fora de controle temos que ter
ou
. Assim deseja-se obter:
ou
).
Utilizando o TCL obtemos,
. Então,
, assim:
É necessário supor que as medições das espessuras são independentes entre si para utilizar o TCL.
(b) Sejam
a média e o desvio-padrão do processo e
o tamanho da amostra. Como os limites são simétricos em torno da média temos:
onde
é uma constante.
Segue que:
Sabemos que
e
, assim:
Assim os limites de controle seriam iguais a:
Utilizando o TCL obtemos,
(b) Sejam
Segue que:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
O enunciado pede duas coisas:
(a) calcular(o enunciado mencionou esses limites);
(b) encontrar limites de controle simétricos em torno detais que a probabilidade central seja (ou seja, achar e com ). -
Informações fornecidas (retiradas do enunciado / suposições claras):
-
(média do processo). - Foi usado o TCL e obtido
. Ou seja: portanto o desvio-padrão da média amostral é . - Em (b) aparece
(essa informação confirma que , mas para os cálculos abaixo basta saber ). - Pressuposto necessário para usar o TCL: as medições são independentes (e a amostra é suficientemente grande / ou a população é aproximadamente normal). O enunciado já observou isso; vamos manter.
-
Observação importante (para evitar confusão): o enunciado inicial dá dois valores para o limite superior em momentos diferentes (
numa linha e depois aparece
usado nos cálculos do usuário). Vou calcular com o valor exato
(conforme pedido inicial) e também comentar rapidamente a diferença se alguém usar
por arredondamento.
Passo 2
Explicando a teoria que vamos usar (de maneira bem prática e passo a passo).
-
Teorema do Limite Central (TCL) aplicado à média amostral:
- Se
são observações independentes com média e variância finita , então para grande (ou quando os já são aproximadamente normais) vale aproximadamente - Aqui escrevemos a variância da média amostral como
e o desvio padrão da média amostral como . - No nosso problema já foi fornecido (ou inferido) que
, então podemos trabalhar diretamente com
- Se
-
Como usar a tabela da Normal padrão:
- Para transformar a média amostral em uma variável normal padrão
, fazemos - Assim probabilidades do tipo
viram . - Lembrete de propriedades úteis:
onde é a função de distribuição da normal padrão.
- Para transformar a média amostral em uma variável normal padrão
Passo 3
Resolvendo (a): calcular
usando
.
-
Primeiro transformamos cada evento em
. - Para o limite inferior
: - Para o limite superior
:
- Para o limite inferior
-
Agora escrevemos a probabilidade pedida como soma das duas caudas (os eventos são mutuamente exclusivos):Convertendo para
: -
Usando a tabela (valores padrão):
-
, então . -
, então .
-
-
Somando:
Comentário sobre o cálculo do usuário: ele havia calculado algo próximo a
porque usou
(outra aproximação) para o limite superior, obtendo
e então
. Com
(que ocorre se usar 142 em vez de 142{,}12) e
a soma dá
. Ou seja, pequenas diferenças de arredondamento nos limites mudam um pouco o resultado; o procedimento está correto, apenas é preciso usar os mesmos limites com precisão.
Passo 4
Resolvendo (b): encontrar limites simétricos
e
para que
-
Transformando para
: Portanto -
Logoe como
temos -
Assim os limites são
Comentário útil: com esses limites simétricos a probabilidade de a média amostral cair fora é
. Por isso, se usar os limites calculados em (b) a probabilidade de sinalizar fora de controle (falso alarme) é
.
Passo 5
Resumo e interpretação curta (pra você ir pra prova confiante):
- Para calcular probabilidades fora dos limites transforme
em e use a tabela da normal padrão. - Tenha sempre atenção ao que representa
na notação: aqui é o desvio da média amostral; a relação com o desvio da observação individual seria . - Pequenas diferenças de arredondamento nos limites (por ex. usar
em vez de ) mudam um pouco o valor final da probabilidade, mas o método é o mesmo.
Resposta
(a)
(b)
(b)