Sejam \mathrm{OX}, \mathrm{OY} semirretas de origem O e \mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) a área do triângulo de vértices O e base X Y, com \overline{O X}=x, \overline{O Y}=y. Prove que:
a) A(c x, y)=c A(x, y) e A(x, c y)=c A(x, y)
b) Conclua que A(c x, y) / A\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x y / x^{\prime} y^{\prime}

Passo 1

O enunciado define A(x,y) como a área do triângulo de vértices O,X,Y em que \overline{OX}=x, \overline{OY}=y e o ângulo entre as semirretas OX e OY é fixo (digamos \alpha). O conteúdo aqui é área de triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles, e vamos usar a fórmula
A(x,y)=\tfrac12\,x\,y\,\sin\alpha.

Passo 2

Para provar A(cx,y)=c\,A(x,y), basta substituir x por cx na fórmula da área:
A(cx,y) =\tfrac12\,(c x)\,y\,\sin\alpha =c\;\bigl(\tfrac12\,x\,y\,\sin\alpha\bigr) =c\,A(x,y).

Passo 3

De modo inteiramente análogo, substituindo y por cy obtemos
A(x,cy) =\tfrac12\,x\,(c y)\,\sin\alpha =c\;\bigl(\tfrac12\,x\,y\,\sin\alpha\bigr) =c\,A(x,y).

Passo 4

Agora, para dois pares quaisquer (x,y) e \bigl(x',y'\bigr), temos
A(cx,y)=\tfrac12\,(c x)\,y\,\sin\alpha \quad\text{e}\quad A(x',y')=\tfrac12\,x'\,y'\,\sin\alpha.
Fazendo o quociente, o fator \tfrac12\sin\alpha cancela em cima e embaixo, ficando
\frac{A(cx,y)}{A(x',y')} =\frac{c\,x\,y}{x'\,y'}.

Resposta

a) A(cx,y)=c\,A(x,y) e A(x,cy)=c\,A(x,y).
b) \displaystyle \frac{A(cx,y)}{A(x',y')}=\frac{c\,x\,y}{x'\,y'}.

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