Sejam \mathrm{OX}, \mathrm{OY} semirretas de origem O e \mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) a área do triângulo de vértices O e base X Y, com \overline{O X}=x, \overline{O Y}=y. Prove que:
a) A(c x, y)=c A(x, y) e A(x, c y)=c A(x, y)
b) Conclua que A(c x, y) / A\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x y / x^{\prime} y^{\prime}
Passo 1
O enunciado define A(x,y) como a área do triângulo de vértices O,X,Y em que \overline{OX}=x, \overline{OY}=y e o ângulo entre as semirretas OX e OY é fixo (digamos \alpha). O conteúdo aqui é área de triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles, e vamos usar a fórmula
A(x,y)=\tfrac12\,x\,y\,\sin\alpha.
Passo 2
Para provar A(cx,y)=c\,A(x,y), basta substituir x por cx na fórmula da área: