Usando semelhança de Triângulos, mas não diretamente a noção de área, prove que o produto da base pela altura de paralelogramo não depende de qual lado se tomou como base
Passo 1
Resumo do enunciado: seja
um paralelogramo com lados
e
. Denotemos por
a distância (altura) de
à reta
, e por
a distância (altura) de
à reta
. Queremos mostrar que
usando apenas semelhança de triângulos, sem recorrer diretamente ao conceito de área.
Passo 2
Construção das alturas e dos triângulos retângulos:
- Seja
o pé da perpendicular de em . Logo e . - Seja
o pé da perpendicular de em . Logo e .
Assim, temos dois triângulos retângulos:, reto em , e , reto em .
Passo 3
Análise dos ângulos agudos em
:
No paralelogramo, e
.
No paralelogramo,
- No
, o ângulo em é , que é correspondente ao ângulo entre e . - No
, o ângulo em é , que é também o ângulo entre e .
Como, esses dois ângulos são congruentes:
Passo 4
Conclusão da semelhança:
Ambos os triângulos e
são retângulos e possuem um ângulo agudo igual em
. Portanto são semelhantes.
Da semelhança obtemos a relação entre os lados correspondentes:
Ambos os triângulos
Da semelhança obtemos a relação entre os lados correspondentes:
Passo 5
Substituindo as medidas:
-
, -
, -
, -
,
ficamos com
Resposta
ou seja, o produto da base pela altura independe de qual lado do paralelogramo for tomado como base.