Usando semelhança de Triângulos, mas não diretamente a noção de área, prove que o produto da base pela altura de paralelogramo não depende de qual lado se tomou como base

Passo 1

Resumo do enunciado: seja ABCD um paralelogramo com lados AB = b_1 e BC = b_2. Denotemos por h_1 a distância (altura) de D à reta AB, e por h_2 a distância (altura) de A à reta BC. Queremos mostrar que
b_1\,h_1 = b_2\,h_2
usando apenas semelhança de triângulos, sem recorrer diretamente ao conceito de área.

Passo 2

Construção das alturas e dos triângulos retângulos:
  • Seja H o pé da perpendicular de D em AB. Logo DH\perp AB e DH = h_1.
  • Seja K o pé da perpendicular de A em BC. Logo AK\perp BC e AK = h_2.
    Assim, temos dois triângulos retângulos: \triangle DAH, reto em H, e \triangle BAK, reto em K.

Passo 3

Análise dos ângulos agudos em A:
No paralelogramo, AB\parallel CD e BC\parallel AD.
  • No \triangle DAH, o ângulo em A é \angle DAH, que é correspondente ao ângulo entre AD e AB.
  • No \triangle BAK, o ângulo em A é \angle BAK, que é também o ângulo entre AB e BC.
    Como AD\parallel BC, esses dois ângulos são congruentes:
\angle DAH = \angle BAK.

Passo 4

Conclusão da semelhança:
Ambos os triângulos \triangle DAH e \triangle BAK são retângulos e possuem um ângulo agudo igual em A. Portanto são semelhantes.
Da semelhança obtemos a relação entre os lados correspondentes:
\frac{DH}{AD} \;=\;\frac{AK}{AB}.

Passo 5

Substituindo as medidas:
  • DH = h_1,
  • AK = h_2,
  • AD = b_2,
  • AB = b_1,
    ficamos com
\frac{h_1}{b_2} \;=\; \frac{h_2}{b_1} \quad\Longrightarrow\quad b_1\,h_1 = b_2\,h_2.

Resposta

b_1\,h_1 = b_2\,h_2,
ou seja, o produto da base pela altura independe de qual lado do paralelogramo for tomado como base.

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