A simetria em torno do ponto O é a transformação \varphi (do plano ou espaço) que faz corresponder a cada ponto X o ponto \varphi(X)=X^{\prime} tal que o O é o ponto médio de X X^{\prime}. Prove que toda simetria em torno de um ponto é uma isometria.
Passo 1
O enunciado define a simetria central (ou simetria em torno de um ponto) \varphi com centro em O como a transformação que a cada ponto X associa X' tal que O é ponto médio de XX'. Queremos provar que essa transformação preserva distâncias, ou seja, para quaisquer pontos A,B vale
d\bigl(\varphi(A),\varphi(B)\bigr) \;=\; d(A,B).
Esse é exatamente o critério para \varphi ser uma isometria.
Passo 2
Escolhemos como origem das coordenadas o próprio ponto O. Para cada ponto X definimos o vetor posição
\vec{x} \;=\;\overrightarrow{OX}.
Pela definição da simetria central, o ponto X'=\varphi(X) satisfaz
O\text{ é o ponto médio de }XX' \;\Longrightarrow\; \overrightarrow{OX'} \;=\; -\,\overrightarrow{OX}.éé
Mas \bigl|\overrightarrow{AB}\bigr| é exatamente d(A,B) e \bigl|\overrightarrow{\varphi(A)\,\varphi(B)}\bigr| é d\bigl(\varphi(A),\varphi(B)\bigr). Logo as distâncias são preservadas.
Resposta
A simetria em torno de um ponto é uma isometria, pois para quaisquer A,B vale