A simetria em torno do ponto O é a transformação \varphi (do plano ou espaço) que faz corresponder a cada ponto X o ponto \varphi(X)=X^{\prime} tal que o O é o ponto médio de X X^{\prime}. Prove que toda simetria em torno de um ponto é uma isometria.

Passo 1

O enunciado define a simetria central (ou simetria em torno de um ponto) \varphi com centro em O como a transformação que a cada ponto X associa X' tal que O é ponto médio de XX'. Queremos provar que essa transformação preserva distâncias, ou seja, para quaisquer pontos A,B vale
d\bigl(\varphi(A),\varphi(B)\bigr) \;=\; d(A,B).
Esse é exatamente o critério para \varphi ser uma isometria.

Passo 2

Escolhemos como origem das coordenadas o próprio ponto O. Para cada ponto X definimos o vetor posição
\vec{x} \;=\;\overrightarrow{OX}.
Pela definição da simetria central, o ponto X'=\varphi(X) satisfaz
O\text{ é o ponto médio de }XX' \;\Longrightarrow\; \overrightarrow{OX'} \;=\; -\,\overrightarrow{OX}.éé
Ou seja, em vetores de posição,
\varphi:\;\vec{x}\;\mapsto\;\vec{x}'\;=\;-\,\vec{x}.

Passo 3

Sejam A e B dois pontos quaisquer, com vetores de posição \vec{a}=\overrightarrow{OA} e \vec{b}=\overrightarrow{OB}. Então
\overrightarrow{O\,\varphi(A)} \;=\;-\,\vec{a}, \quad \overrightarrow{O\,\varphi(B)} \;=\;-\,\vec{b}.
O vetor que vai de \varphi(A) a \varphi(B) é
\overrightarrow{\varphi(A)\,\varphi(B)} =\overrightarrow{O\,\varphi(B)}-\overrightarrow{O\,\varphi(A)} =-\,\vec{b}-(-\,\vec{a}) =-(\vec{b}-\vec{a}) =-\,\overrightarrow{AB}.
Como o comprimento de um vetor não muda ao trocar seu sinal, temos
\bigl|\overrightarrow{\varphi(A)\,\varphi(B)}\bigr| = \bigl|-\overrightarrow{AB}\bigr| = \bigl|\overrightarrow{AB}\bigr|.
Mas \bigl|\overrightarrow{AB}\bigr| é exatamente d(A,B) e \bigl|\overrightarrow{\varphi(A)\,\varphi(B)}\bigr| é d\bigl(\varphi(A),\varphi(B)\bigr). Logo as distâncias são preservadas.

Resposta

A simetria em torno de um ponto é uma isometria, pois para quaisquer A,B vale
d\bigl(\varphi(A),\varphi(B)\bigr) = d(A,B).

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