Exercício 30 / Página 45: Uma população de esquilos-cinzentos foi introduzida em certa região há 18 anos. Segundo os biólogos, a população dobra a cada seis anos e a população atual é de 600 animais. (a) Qual era a população inicial de esquilos? (b) Qual é a população esperada de esquilos t anos após sua introdução na região? (c) Estime a população esperada de esquilos daqui a 10 anos.
Passo 1
Vamos identificar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede, ponto a ponto, sem resolver nada ainda.
-
Dados do enunciado:
- A população dobra a cada
anos. - A população foi introduzida há
anos. - A população atual (isto é,
anos após a introdução) é animais.
- A população dobra a cada
-
Perguntas do enunciado:
- (a) Qual era a população inicial de esquilos? (isto é, a população no instante da introdução,
.) - (b) Qual é a população esperada de esquilos
anos após a introdução? (uma fórmula .) - (c) Estime a população esperada de esquilos daqui a
anos (isto é, anos a partir de agora).
- (a) Qual era a população inicial de esquilos? (isto é, a população no instante da introdução,
Passo 2
Entendendo o modelo: por que usamos uma potência de
e como montar a fórmula.
- Quando a população “dobra a cada
anos” significa que, a cada intervalo de anos, o número de animais é multiplicado por . - Se
for a população inicial (no tempo ), então após anos a população será multiplicada por tantas vezes quantas forem as “frações” de períodos de anos contidas em . Isso se traduz na fórmula Aqui: -
é a população anos após a introdução; -
é a população inicial (no tempo ); - o expoente
representa “quantos períodos de 6 anos” cabem em anos (pode ser não inteiro, e aí usamos potência fracionária normalmente).
-
- Exemplo curto para fixar: se
então e — faz sentido: em 12 anos ocorreram duas dobras.
Passo 3
Resolver a parte (a): encontrar a população inicial
.
- Sabemos que a população atual é
animais e isso corresponde a anos após a introdução. Logo, - Usando a fórmula do passo anterior,
- Calcule o expoente
: Então . - Agora isolamos
: - Faça a divisão:
- Conclusão intermediária: a população inicial era
animais.
Passo 4
Resolver a parte (b): escrever a fórmula
usando o valor de
.
- Substituindo
na fórmula geral , obtemos - Explanação didática: isso significa que, para qualquer
(anos após a introdução), pegamos e multiplicamos por elevado a quantos períodos de anos existem em . Se for não inteiro, a potência fracionária representa um crescimento proporcional (por exemplo, dá , a raiz quadrada de , correspondendo à “meia dobra”).
Passo 5
Resolver a parte (c): estimar a população daqui a
anos.
- “Daqui a
anos” é anos a partir de agora. Como a introdução foi há anos, isso corresponde a um tempo total desde a introdução de - Usamos a fórmula
com : - Simplifique o expoente:
Então - Para um valor numérico aproximado, calcule
. Uma forma prática é lembrar que , então Portanto - Multiplique por
: - Como estamos contando animais inteiros, arredondamos para o inteiro mais próximo:
- Observação rápida de verificação: também dá para partir da população atual
e multiplicar por (porque daqui a anos há dobras), ou seja , que dá o mesmo resultado numérico.
Passo 6
Resumo final e incentivo (rápido): fizemos um modelo exponencial simples, resolvemos para
substituindo o dado de
, escrevemos a fórmula geral e aplicamos para
. Se na prova aparecer algo parecido, lembre: encontre primeiro
quando der um
conhecido, monte
(ou
com
) e calcule. Você segurou essa!
Resposta
(a)
animais
(b)
(c) aproximadamente animais
(b)
(c) aproximadamente