Exercício 30 / Página 45: Uma população de esquilos-cinzentos foi introduzida em certa região há 18 anos. Segundo os biólogos, a população dobra a cada seis anos e a população atual é de 600 animais. (a) Qual era a população inicial de esquilos? (b) Qual é a população esperada de esquilos t anos após sua introdução na região? (c) Estime a população esperada de esquilos daqui a 10 anos.

Passo 1

Vamos identificar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede, ponto a ponto, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • A população dobra a cada 6 anos.
    • A população foi introduzida há 18 anos.
    • A população atual (isto é, 18 anos após a introdução) é 600 animais.
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Qual era a população inicial de esquilos? (isto é, a população no instante da introdução, t=0.)
    • (b) Qual é a população esperada de esquilos t anos após a introdução? (uma fórmula P(t).)
    • (c) Estime a população esperada de esquilos daqui a 10 anos (isto é, 10 anos a partir de agora).

Passo 2

Entendendo o modelo: por que usamos uma potência de 2 e como montar a fórmula.
  • Quando a população “dobra a cada 6 anos” significa que, a cada intervalo de 6 anos, o número de animais é multiplicado por 2.
  • Se P_0 for a população inicial (no tempo t=0), então após t anos a população será multiplicada por 2 tantas vezes quantas forem as “frações” de períodos de 6 anos contidas em t. Isso se traduz na fórmula P(t)=P_0\cdot 2^{t/6}.Aqui:
    • P(t) é a população t anos após a introdução;
    • P_0 é a população inicial (no tempo t=0);
    • o expoente t/6 representa “quantos períodos de 6 anos” cabem em t anos (pode ser não inteiro, e aí usamos potência fracionária normalmente).
  • Exemplo curto para fixar: se t=12 então t/6=2 e P(12)=P_0\cdot 2^2=4P_0 — faz sentido: em 12 anos ocorreram duas dobras.

Passo 3

Resolver a parte (a): encontrar a população inicial P_0.
  • Sabemos que a população atual é 600 animais e isso corresponde a t=18 anos após a introdução. Logo, P(18)=600.
  • Usando a fórmula do passo anterior, P(18)=P_0\cdot 2^{18/6}.
  • Calcule o expoente 18/6: \frac{18}{6}=3.Então 2^{18/6}=2^3=8.
  • Agora isolamos P_0: P_0=\frac{P(18)}{2^{3}}=\frac{600}{8}.
  • Faça a divisão: \frac{600}{8}=75.
  • Conclusão intermediária: a população inicial era 75 animais.

Passo 4

Resolver a parte (b): escrever a fórmula P(t) usando o valor de P_0.
  • Substituindo P_0=75 na fórmula geral P(t)=P_0\cdot 2^{t/6}, obtemos P(t)=75\cdot 2^{t/6}.
  • Explanação didática: isso significa que, para qualquer t (anos após a introdução), pegamos 75 e multiplicamos por 2 elevado a quantos períodos de 6 anos existem em t. Se t for não inteiro, a potência fracionária representa um crescimento proporcional (por exemplo, t=3 2^{1/2}, a raiz quadrada de 2, correspondendo à “meia dobra”).

Passo 5

Resolver a parte (c): estimar a população daqui a 10 anos.
  • “Daqui a 10 anos” é 10 anos a partir de agora. Como a introdução foi há 18 anos, isso corresponde a um tempo total desde a introdução de t_{\text{fut}}=18+10=28\\ \text{anos}.
  • Usamos a fórmula P(t)=75\cdot 2^{t/6} com t=28: P(28)=75\cdot 2^{28/6}.
  • Simplifique o expoente: \frac{28}{6}=\frac{14}{3}=4+\frac{2}{3}.Então 2^{28/6}=2^{14/3}=2^{4+\tfrac{2}{3}}=2^4\cdot 2^{2/3}=16\cdot 2^{2/3}.
  • Para um valor numérico aproximado, calcule 2^{2/3}. Uma forma prática é lembrar que 2^{1/3}\approx 1{,}259921, então 2^{2/3}=(2^{1/3})^2\approx 1{,}259921^2\approx 1{,}587401.Portanto 2^{28/6}\approx 16\cdot 1{,}587401\approx 25{,}398416.
  • Multiplique por 75: P(28)\approx 75\cdot 25{,}398416\approx 1904{,}8812.
  • Como estamos contando animais inteiros, arredondamos para o inteiro mais próximo: P(28)\approx 1905\\ \text{animais}.
  • Observação rápida de verificação: também dá para partir da população atual 600 e multiplicar por 2^{10/6} (porque daqui a 10 anos há 10/6 dobras), ou seja 600\cdot 2^{5/3}, que dá o mesmo resultado numérico.

Passo 6

Resumo final e incentivo (rápido): fizemos um modelo exponencial simples, resolvemos para P_0 substituindo o dado de t=18, escrevemos a fórmula geral e aplicamos para t=28. Se na prova aparecer algo parecido, lembre: encontre primeiro P_0 quando der um P(t) conhecido, monte P(t)=P_0\cdot 2^{t/6} (ou P(t)=P_0\cdot a^t com a=2^{1/6}) e calcule. Você segurou essa!

Resposta

(a) 75 animais
(b) P(t)=75\cdot 2^{t/6}
(c) aproximadamente 1905 animais

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