Verifique se a equação (em coordenadas polares)
\rho=2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta
define um círculo em \mathbb{R}^{2}. Em caso afirmativo, determine as coordenadas POLARES de seu centro.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares
\rho = 2\cos\theta + 2\sqrt{3}\,\sin\theta
e pede para verificar se ela descreve um círculo em \mathbb{R}^2 e, em caso afirmativo, encontrar as coordenadas polares do centro. Para isso, vamos usar a conversão entre coordenadas polares e cartesianas:
x = \rho\cos\theta,\quad y = \rho\sin\theta,\quad \rho^2 = x^2 + y^2.

Passo 2

Multiplicamos a equação polar por \rho para expressá-la em termos de x e y:
\rho^2 = 2\,\rho\cos\theta + 2\sqrt{3}\,\rho\sin\theta.
Substituindo \rho^2 = x^2 + y^2, \rho\cos\theta = x e \rho\sin\theta = y, obtemos
x^2 + y^2 = 2x + 2\sqrt{3}\,y.

Passo 3

Reorganizamos em forma de completar quadrados:
x^2 - 2x + y^2 - 2\sqrt{3}\,y = 0 \;\Longrightarrow\; (x-1)^2 - 1 + (y-\sqrt{3})^2 - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4.
Isso mostra claramente que é um círculo de centro (1,\sqrt{3}) e raio 2.

Passo 4

Agora convertemos o centro (x_0,y_0)=(1,\sqrt{3}) para coordenadas polares (\rho_0,\theta_0).
O módulo é
\rho_0 = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2,
e o argumento é
\theta_0 = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{1}\bigr) = \frac{\pi}{3}.

Resposta

O enunciado define um círculo de raio 2.
As coordenadas polares do centro são \displaystyle (\rho,\theta) = \bigl(2,\tfrac{\pi}{3}\bigr).

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