Usando a regra de Sarrus, calcule o detreminante das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -4 & -3 \\ 0 & -6 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede explicitamente para usar a regra de Sarrus para calcular os determinantes das matrizes A e B. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\\\ -1 & 0 & -2 \\\\ 2 & 5 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\\\ 2 & -4 & -3 \\\\ 0 & -6 & 1 \end{pmatrix}.
Portanto o que precisamos retornar são os valores numéricos de \det(A) e \det(B).

Passo 2

Explicando a regra de Sarrus de forma didática. Seja uma matriz 3\times3
M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.
Aqui a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j. A regra de Sarrus diz que o determinante de M é dado por somar os produtos das três diagonais “para a direita” e subtrair os produtos das três diagonais “para a esquerda”. Em fórmula:
\det(M)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.
Intuição prática: escreva as duas primeiras colunas de novo à direita e some os produtos das três diagonais descendentes (da esquerda para a direita) e subtraia os produtos das três diagonais ascendentes (da direita para a esquerda). Cada termo é um produto de três elementos, um de cada linha e de cada coluna em uma permutação específica.

Passo 3

Aplicando Sarrus em A. Primeiro identifiquemos os elementos:
a_{11}=1,\\ a_{12}=3,\\ a_{13}=2,
a_{21}=-1,\\ a_{22}=0,\\ a_{23}=-2,
a_{31}=2,\\ a_{32}=5,\\ a_{33}=1.
Agora calculemos os três produtos das diagonais “para a direita”:
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot 0\cdot 1=0,
a_{12}a_{23}a_{31}=3\cdot(-2)\cdot 2=3\cdot(-4)=-12,
a_{13}a_{21}a_{32}=2\cdot(-1)\cdot 5=2\cdot(-5)=-10.
Somando esses três termos obtemos a soma “direita”:
0+(-12)+(-10)=-22.
Agora os três produtos das diagonais “para a esquerda”:
a_{13}a_{22}a_{31}=2\cdot 0\cdot 2=0,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot(-2)\cdot 5=1\cdot(-10)=-10,
a_{12}a_{21}a_{33}=3\cdot(-1)\cdot 1=3\cdot(-1)=-3.
Somando esses termos obtemos a soma “esquerda”:
0+(-10)+(-3)=-13.
Pelo Sarrus:
\det(A)=\text{soma direita} - \text{soma esquerda}=(-22)-(-13)=-22+13=-9.

Passo 4

Interpretação rápida (apenas para reforçar o aprendizado): como \det(A)=-9\neq 0, a matriz A é invertível (tem inversa). Isso não era pedido, mas ajuda a fixar o significado do determinante.

Passo 5

Aplicando Sarrus em B. Identifiquemos os elementos:
b_{11}=1,\\ b_{12}=1,\\ b_{13}=-2,
b_{21}=2,\\ b_{22}=-4,\\ b_{23}=-3,
b_{31}=0,\\ b_{32}=-6,\\ b_{33}=1.
Produtos das diagonais “para a direita”:
b_{11}b_{22}b_{33}=1\cdot(-4)\cdot 1=-4,
b_{12}b_{23}b_{31}=1\cdot(-3)\cdot 0=0,
b_{13}b_{21}b_{32}=(-2)\cdot 2\cdot(-6)=(-2\cdot 2)\cdot(-6)=(-4)\cdot(-6)=24.
Soma direita:
-4+0+24=20.
Produtos das diagonais “para a esquerda”:
b_{13}b_{22}b_{31}=(-2)\cdot(-4)\cdot 0=0,
b_{11}b_{23}b_{32}=1\cdot(-3)\cdot(-6)=1\cdot 18=18,
b_{12}b_{21}b_{33}=1\cdot 2\cdot 1=2.
Soma esquerda:
0+18+2=20.
Pelo Sarrus:
\det(B)=\text{soma direita}-\text{soma esquerda}=20-20=0.

Resposta

\det(A)=-9
\det(B)=0

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