Sejam as matrizes A=(ai j)3 times 3^prime em que
ai j=l1, se i >= j 2, se i<j, e B=(bi j)3 times 3^prime em que
bi j=c-1, se i >= j 1, se i<j. Calcule det A, det B, det(A+B)
e det(A cdot B).

Passo 1

O enunciado define duas matrizes 3times3 por partes e pede os determinantes de A, de B, de A+B e de Acdot B. Vamos usar (1) a definição direta de determinante para matrizes 3times3, (2) a propriedade de fatoração de constantes por linha e (3) a propriedade multiplicativa det(AB)=det Acdotdet B.

Passo 2

Primeiro, escrevemos A e B de forma explícita:
A=l(aijr)= 1 & 2 & 2 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 , B=l(bijr)= -1 & 1 & 1 -1 & -1 & 1 -1 & -1 & -1

Passo 3

Calculando det A por expansão na primeira linha:
det A =1cdotdet1&21&1 -2cdotdet1&21&1 +2cdotdet1&11&1
Agora os menores:
det1&21&1=1cdot1-2cdot1=-1, det1&11&1=1cdot1-1cdot1=0
Logo
det A =1cdot(-1)-2cdot(-1)+2cdot0 =-1+2+0 =1

Passo 4

Para det B, fatoramos -1 de cada linha (três linhas no total), obtendo
det B=(-1)^3, det 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & 1 & 1 =-det M,
onde
M= 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & 1 & 1
Expandindo det M na primeira linha:
det M =1cdotdet1&-11&1 -(-1)cdotdet1&-11&1 +(-1)cdotdet1&11&1
Calculando os menores:
det1&-11&1=1cdot1-(-1)cdot1=2, det1&11&1=0
Assim
det M=1cdot2-(-1)cdot2+(-1)cdot0=2+2+0=4,
e portanto
det B=-det M=-4

Passo 5

Somando as matrizes:
A+B= 1-1 & 2+1 & 2+1 1-1 & 1-1 & 2+1 1-1 & 1-1 & 1-1 = 0 & 3 & 3 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Como A+B é triangular superior com zeros na diagonal,
det(A+B)=0cdot0cdot0=0

Passo 6

Finalmente, pela propriedade multiplicativa de determinantes,
det(Acdot B)=det Acdotdet B=1cdot(-4)=-4

Resposta

det A=1
det B=-4
det(A+B)=0
det(Acdot B)=-4

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