1. Mostre que (a times b) cdot b=0 para todo vetor a e b em V3.
23-26 Demonstre a propriedade do produto vetorial (Teorema 11).
23. Propriedade 1: a times b=-b times a
24. Propriedade 2: (ca) times b c(a times b)=a times(c b)
25. Propriedade 3: a times(b+c)=a times b+a times c
26. Propriedade 4: (a+b) times c=a times c+b times c

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(atimesb)cdotb=0
para quaisquer a,bin V3, e em seguida demonstrar as propriedades do produto vetorial: anticomutatividade, homogeneidade e distributividade sobre soma.

Passo 2

Usamos o fato de que por definição geométrica atimesb é ortogonal a b. Em particular, um vetor ortogonal a b faz produto escalar zero com b. Logo,
(atimesb)cdotb=0

Passo 3

Para provar atimesb=-,btimesa usamos a definição por determinante:
atimesb =det i&j&k a1&a2&a3 b1&b2&b3
Ao trocar as linhas correspondentes a a e b troca-se o sinal do determinante, obtendo-se
atimesb =-det i&j&k b1&b2&b3 a1&a2&a3 =-,btimesa

Passo 4

Para mostrar (ca)timesb=c(atimesb) e atimes(cb)=c(atimesb) usamos a multilinearidade do determinante em cada linha:
(ca)timesb =det i&j&k c,a1&c,a2&c,a3 b1&b2&b3 =c, det i&j&k a1&a2&a3 b1&b2&b3 =c(atimesb),
e de modo análogo para atimes(cb).

Passo 5

Para atimes(b+c)=atimesb+atimesc aplicamos a linearidade na segunda linha do determinante:
atimes(b+c) =det i&j&k a1&a2&a3 b1+c1&b2+c2&b3+c3 =det i&j&k a1&a2&a3 b1&b2&b3 +det i&j&k a1&a2&a3 c1&c2&c3 =atimesb+atimesc

Passo 6

Para (a+b)timesc=atimesc+btimesc usamos a linearidade na primeira linha:
(a+b)timesc =det i&j&k a1+b1&a2+b2&a3+b3 c1&c2&c3 =atimesc+btimesc

Resposta

  1. (atimesb)cdotb=0
  2. atimesb=-btimesa
  3. (ca)timesb=c(atimesb) e atimes(cb)=c(atimesb)
  4. atimes(b+c)=atimesb+atimesc
  5. (a+b)timesc=atimesc+btimesc

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