- Mostre que
para todo vetor
e
em
.
23-26 Demonstre a propriedade do produto vetorial (Teorema 11).
23. Propriedade 1:
24. Propriedade 2: (ca)
25. Propriedade 3:
26. Propriedade 4:
23. Propriedade 1:
24. Propriedade 2: (ca)
25. Propriedade 3:
26. Propriedade 4:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para quaisquer
, e em seguida demonstrar as propriedades do produto vetorial: anticomutatividade, homogeneidade e distributividade sobre soma.
Passo 2
Usamos o fato de que por definição geométrica
é ortogonal a
. Em particular, um vetor ortogonal a
faz produto escalar zero com
. Logo,
Passo 3
Para provar
usamos a definição por determinante:
Ao trocar as linhas correspondentes a
a e
b troca-se o sinal do determinante, obtendo-se
Passo 4
Para mostrar
(ca)timesb=c(atimesb) e
atimes(cb)=c(atimesb) usamos a multilinearidade do determinante em cada linha:
e de modo análogo para
atimes(cb) .
Passo 5
Para
atimes(b+c)=atimesb+atimesc aplicamos a linearidade na segunda linha do determinante:
Passo 6
Para
(a+b)timesc=atimesc+btimesc usamos a linearidade na primeira linha:
Resposta
-
(atimesb)cdotb=0 -
atimesb=-btimesa -
e(ca)timesb=c(atimesb) atimes(cb)=c(atimesb) -
atimes(b+c)=atimesb+atimesc -
(a+b)timesc=atimesc+btimesc