Sejam as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
B^{t} D^{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a multiplicação \boldsymbol{B}^{t}\boldsymbol{D}^{t} usando as matrizes fornecidas:
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right],\qquad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \boldsymbol{B} é uma matriz de dimensão 2\times3.
  • \boldsymbol{D} é uma matriz de dimensão 1\times2.
  • A operação pedida é \boldsymbol{B}^{t}\boldsymbol{D}^{t}.

Passo 2

Verificar dimensões para saber se a multiplicação é possível e qual será a dimensão do resultado.
  • Se \boldsymbol{B} tem dimensão 2\times3, então \boldsymbol{B}^{t} tem dimensão 3\times2.
  • Se \boldsymbol{D} tem dimensão 1\times2, então \boldsymbol{D}^{t} tem dimensão 2\times1.
  • Uma matriz 3\times2 multiplicada por uma 2\times1 é permitida (as dimensões internas coincidem: 2), e o produto terá dimensão 3\times1.
Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes (útil para a prova): para matrizes \boldsymbol{X} de dimensão m\times n e \boldsymbol{Y} de dimensão n\times p, o produto \boldsymbol{X}\boldsymbol{Y} tem dimensão m\times p e sua entrada (i,j) é dada por
(\boldsymbol{X}\boldsymbol{Y})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}Y_{kj},
ou seja, cada entrada é o produto escalar (dot product) da linha i de \boldsymbol{X} com a coluna j de \boldsymbol{Y}.

Passo 3

Calcular \boldsymbol{B}^{t} explicitamente trocando linhas por colunas:
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right] \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{B}^{t}=\left[\begin{array}{rr} -2 & 3 \\\\ 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],
onde cada coluna de \boldsymbol{B}^{t} é uma linha de \boldsymbol{B}.

Passo 4

Calcular \boldsymbol{D}^{t} (transposta de um vetor linha vira um vetor coluna):
\boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr}2 & -1\end{array}\right] \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{D}^{t}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1\end{array}\right].

Passo 5

Multiplicar \boldsymbol{B}^{t}(3\times2) por \boldsymbol{D}^{t}(2\times1) usando produto linha·coluna. Denotar as linhas de \boldsymbol{B}^{t}:
  • linha 1: \left[-2,\;3\right],
  • linha 2: \left[0,\;0\right],
  • linha 3: \left[1,\;1\right].
    A coluna de \boldsymbol{D}^{t} é \left[\begin{array}{r}2\\\ -1\end{array}\right].
Calcular cada entrada do produto \boldsymbol{B}^{t}\boldsymbol{D}^{t}:
\begin{aligned} \text{entrada 1} &= (-2)\cdot 2 + 3\cdot(-1) = -4 - 3 = -7,\\[4pt] \text{entrada 2} &= 0\cdot 2 + 0\cdot(-1) = 0,\\[4pt] \text{entrada 3} &= 1\cdot 2 + 1\cdot(-1) = 2 - 1 = 1. \end{aligned}
Portanto o produto é a matriz coluna de dimensão 3\times1
\boldsymbol{B}^{t}\boldsymbol{D}^{t}=\left[\begin{array}{r}-7\\[4pt]0\\[4pt]1\end{array}\right].]

Passo 6

Verificação alternativa (útil para a prova): usar a propriedade de transposta (\boldsymbol{X}\boldsymbol{Y})^{t}=\boldsymbol{Y}^{t}\boldsymbol{X}^{t}. Tomando \boldsymbol{X}=\boldsymbol{D} e \boldsymbol{Y}=\boldsymbol{B} obtemos
\boldsymbol{B}^{t}\boldsymbol{D}^{t}=(\boldsymbol{D}\boldsymbol{B})^{t}.
Calcular \boldsymbol{D}\boldsymbol{B} (dimensões 1\times2 vezes 2\times3 dão 1\times3):
\boldsymbol{D}\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lr}2 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 1 \\[2pt] 3 & 0 & 1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr}-7 & 0 & 1\end{array}\right].
Transpondo obtemos novamente
(\boldsymbol{D}\boldsymbol{B})^{t}=\left[\begin{array}{r}-7\\[4pt]0\\[4pt]1\end{array}\right],
confirmando o resultado do passo anterior.]

Passo 7

Resumo prático para a prova: sempre cheque dimensões antes de multiplicar (a transposta troca dimensões), e calcule cada entrada como produto escalar linha·coluna; a propriedade (XY)^{t}=Y^{t}X^{t} é útil para simplificar ou conferir cálculos.

Resposta

\displaystyle \left[\begin{array}{r}-7\\[4pt]0\\[4pt]1\end{array}\right]]

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