Sejam as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
A^{t} B

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^{t}B. As informações dadas são as matrizes
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right],\qquad C=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right],\qquad D=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right].
A única operação solicitada é A^{t}B. Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • A é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas, ou seja, A tem dimensão 2\times3.
  • B é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas, ou seja, B tem dimensão 2\times3.
  • Não foi pedido nenhum outro produto ou combinação; vamos apenas calcular A^{t}B.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a transposta A^{t}. Lembrete prático: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas. Se A tem dimensão 2\times3, então A^{t} terá dimensão 3\times2. Aplicando isso a A, trocando linhas por colunas, obtemos
A^{t}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right].
Aqui a primeira coluna de A^{t} é a primeira linha de A e a segunda coluna de A^{t} é a segunda linha de A.

Passo 3

Antes de multiplicar, verifiquemos a compatibilidade de dimensões. A regra é: uma matriz de dimensão m\times n pode ser multiplicada (à direita) por uma matriz de dimensão n\times p, e o produto terá dimensão m\times p.
  • Temos A^{t} com dimensão 3\times2.
  • Temos B com dimensão 2\times3.
Como o número de colunas de A^{t} ( 2) é igual ao número de linhas de B ( 2), o produto A^{t}B é possível, e terá dimensão 3\times3.

Passo 4

Recordando a definição da multiplicação de matrizes: o elemento na linha i e coluna j do produto é o produto interno (produto escalar) entre a linha i da primeira matriz e a coluna j da segunda matriz. Em fórmula:
(A^{t}B)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} (A^{t})_{ik}\,B_{kj},
pois o índice de soma vai de 1 até 2 (o número comum de colunas/linhas).
Vamos identificar as colunas de B explicitamente (retiradas de B):
\text{coluna }1\text{ de }B=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad \text{coluna }2\text{ de }B=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{coluna }3\text{ de }B=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos linha a linha os produtos escalares.
Linha 1 de A^{t} é \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}.
  • Entrada (1,1):
(A^{t}B)_{11} = 1\cdot(-2) + 2\cdot 3 = -2 + 6 = 4.
  • Entrada (1,2):
(A^{t}B)_{12} = 1\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0 + 0 = 0.
  • Entrada (1,3):
(A^{t}B)_{13} = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 = 1 + 2 = 3.
Linha 2 de A^{t} é \begin{pmatrix}2 & 1\end{pmatrix}.
  • Entrada (2,1):
(A^{t}B)_{21} = 2\cdot(-2) + 1\cdot 3 = -4 + 3 = -1.
  • Entrada (2,2):
(A^{t}B)_{22} = 2\cdot 0 + 1\cdot 0 = 0.
  • Entrada (2,3):
(A^{t}B)_{23} = 2\cdot 1 + 1\cdot 1 = 2 + 1 = 3.
Linha 3 de A^{t} é \begin{pmatrix}3 & -1\end{pmatrix}.
  • Entrada (3,1):
(A^{t}B)_{31} = 3\cdot(-2) + (-1)\cdot 3 = -6 - 3 = -9.
  • Entrada (3,2):
(A^{t}B)_{32} = 3\cdot 0 + (-1)\cdot 0 = 0.
  • Entrada (3,3):
(A^{t}B)_{33} = 3\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = 3 - 1 = 2.

Passo 6

Reunindo todas as entradas calculadas, o produto A^{t}B é a matriz 3\times3
A^{t}B=\left[\begin{array}{rrr} 4 & 0 & 3 \\\\ -1 & 0 & 3 \\\\ -9 & 0 & 2 \end{array}\right].

Resposta

A^{t}B=\left[\begin{array}{rrr} 4 & 0 & 3 \\\\ -1 & 0 & 3 \\\\ -9 & 0 & 2 \end{array}\right]

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