A única operação solicitada é A^{t}B. Informações relevantes (retiradas do enunciado):
A é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas, ou seja, A tem dimensão 2\times3.
B é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas, ou seja, B tem dimensão 2\times3.
Não foi pedido nenhum outro produto ou combinação; vamos apenas calcular A^{t}B.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a transposta A^{t}. Lembrete prático: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas. Se A tem dimensão 2\times3, então A^{t} terá dimensão 3\times2. Aplicando isso a A, trocando linhas por colunas, obtemos
Aqui a primeira coluna de A^{t} é a primeira linha de A e a segunda coluna de A^{t} é a segunda linha de A.
Passo 3
Antes de multiplicar, verifiquemos a compatibilidade de dimensões. A regra é: uma matriz de dimensão m\times n pode ser multiplicada (à direita) por uma matriz de dimensão n\times p, e o produto terá dimensão m\times p.
Temos A^{t} com dimensão 3\times2.
Temos B com dimensão 2\times3.
Como o número de colunas de A^{t} (2) é igual ao número de linhas de B (2), o produto A^{t}B é possível, e terá dimensão 3\times3.
Passo 4
Recordando a definição da multiplicação de matrizes: o elemento na linha i e coluna j do produto é o produto interno (produto escalar) entre a linha i da primeira matriz e a coluna j da segunda matriz. Em fórmula:
pois o índice de soma vai de 1 até 2 (o número comum de colunas/linhas).
Vamos identificar as colunas de B explicitamente (retiradas de B):
\text{coluna }1\text{ de }B=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad \text{coluna }2\text{ de }B=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{coluna }3\text{ de }B=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 5
Agora calculamos linha a linha os produtos escalares.
Linha 1 de A^{t} é \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}.