Suponha que a matriz \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}4 & x+2 \\\\ 2 x-3 & x+1\end{array}\right] seja simétrica. Calcule x e a matriz \boldsymbol{A}.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}4 & x+2 \\[4pt] 2x-3 & x+1\end{array}\right] e diz que essa matriz é simétrica. Pede-se:
  • Calcular o valor de x.
  • Determinar a matriz \boldsymbol{A} correspondente ao valor de x.
As informações relevantes: os elementos da matriz estão dados em função de x e a condição de simetria deve ser usada para encontrar x.]

Passo 2

O que significa “matriz simétrica”? Vou explicar devagarinho.
  • Para uma matriz qualquer \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right], a transposta é \boldsymbol{A}^T=\left[\begin{array}{cc}a & c \\[4pt] b & d\end{array}\right].
  • A matriz é simétrica quando \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^T. Para a matriz 2\times2 isso implica que os elementos fora da diagonal principal são iguais, ou seja \;b=c\;. (Os elementos da diagonal a e d já coincidem consigo mesmos.)]

Passo 3

Aplicando a condição de simetria à matriz dada: comparar o elemento acima da diagonal com o elemento simétrico abaixo da diagonal.
  • O elemento (1,2) da matriz é \;x+2\;.
  • O elemento (2,1) da matriz é \;2x-3\;.
    A condição de simetria exige
x+2 = 2x-3.

Passo 4

Resolver a equação \;x+2 = 2x-3\; passo a passo.
  • Subtrair x de ambos os lados:
x+2 - x = 2x-3 - x \quad\Rightarrow\quad 2 = x-3.
  • Somar 3 em ambos os lados:
2+3 = x-3+3 \quad\Rightarrow\quad 5 = x.

Passo 5

Concluímos que \;x=5\;. Bom trabalho — estamos quase lá!

Passo 6

Agora substituir \;x=5\; nos elementos da matriz para obter \boldsymbol{A}.
  • Elemento (1,1): 4 (já dado).
  • Elemento (1,2): x+2 = 5+2 = 7.
  • Elemento (2,1): 2x-3 = 2\cdot5-3 = 10-3 = 7.
  • Elemento (2,2): x+1 = 5+1 = 6.

Passo 7

Escrevendo a matriz resultante:
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}4 & 7 \\[4pt] 7 & 6\end{array}\right].]

Resposta

x=5
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}4 & 7 \\[4pt] 7 & 6\end{array}\right]]

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