Sejam as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
C A

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto matricial C A.
Informações dadas (contadas diretamente nas matrizes do enunciado):
  • A é a matriz com duas linhas e três colunas, logo \;A\in\mathbb{R}^{2\times3}.
  • B é \;B\in\mathbb{R}^{2\times3} (não será usado aqui, mas está no enunciado).
  • C é o vetor coluna com três entradas, logo \;C\in\mathbb{R}^{3\times1}.
  • D é D\in\mathbb{R}^{1\times2} (também não será usado aqui).
Resumo do pedido: calcular \;C A, sabendo que \;C é \;3\times1 e \;A é \;2\times3.

Passo 2

Regra geral de multiplicação de matrizes (a parte didática calma e sem pânico):
  • Se X\in\mathbb{R}^{m\times n} e Y\in\mathbb{R}^{p\times q}, o produto XY está definido se, e somente se, o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y; isto é, se n=p.
  • Quando definido, XY\in\mathbb{R}^{m\times q} e os elementos são dados por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Explicando as letras: m é o número de linhas de X, n é o número de colunas de X (igual ao número de linhas de Y quando o produto existe), q é o número de colunas de Y. O índice k atravessa as somas dos produtos elemento a elemento entre a linha i de X e a coluna j de Y.
Um exemplo pequeno e concreto: se X é 2\times3 e Y é 3\times2, então XY existe e é 2\times2. Se em vez disso X fosse 3\times1 e Y fosse 2\times3, o produto não existiria porque 1\neq2.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • Para C temos número de linhas =3 e número de colunas =1, ou seja, C\in\mathbb{R}^{3\times1}.
  • Para A temos número de linhas =2 e número de colunas =3, ou seja, A\in\mathbb{R}^{2\times3}.
  • Para que C A existisse seria necessário que o número de colunas de C (que é 1) fosse igual ao número de linhas de A (que é 2). Aqui temos 1\neq2.
Portanto o produto \;C A NÃO está definido: as dimensões internas são incompatíveis.

Passo 4

Dica prática e reforço (útil para a prova): muitas pessoas confundem a ordem. O produto A C (nota a ordem trocada) existe porque A é 2\times3 e C é 3\times1; aí as dimensões internas coincidem ( 3=3) e o resultado é um vetor coluna 2\times1. Para treinar a técnica de cálculo de produto (caso peçam A C em vez de C A), segue o cálculo passo a passo:
Dados
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]2 & 1 & -1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Calcular cada entrada de A C fazendo o produto escalar entre a linha correspondente de A e o vetor C:
Primeira entrada (linha 1 de A com C):
(AC)_1 = 1\cdot(-1) + 2\cdot 2 + 3\cdot 4 = -1 + 4 + 12 = 15.
Segunda entrada (linha 2 de A com C):
(AC)_2 = 2\cdot(-1) + 1\cdot 2 + (-1)\cdot 4 = -2 + 2 -4 = -4.
Portanto, se alguém na prova perguntar, o produto A C vale
A C = \begin{pmatrix}15\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
(Serve como verificação rápida de que a técnica de multiplicação ficou clara.)]

Passo 5

Conclusão final: não dá para calcular C A porque as dimensões não batem; como reforço, mostrei também como calcular A C, que é o produto definido e vale \begin{pmatrix}15\\\ -4\end{pmatrix}.

Resposta

Não é possível calcular C A. As dimensões são incompatíveis: C é 3\times1 e A é 2\times3, e 1\neq2.

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