Sejam as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
D^{t} C^{t} A^{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \,D^{t} C^{t} A^{t}\, usando as matrizes fornecidas. As matrizes e suas dimensões (extraídas do enunciado) são:
  • \displaystyle A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\end{bmatrix}, que tem dimensão \,2\times 3.
  • \displaystyle B=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 0 & 1\end{bmatrix}, que tem dimensão \,2\times 3. (não será usada aqui, mas está no enunciado)
  • \displaystyle C=\begin{bmatrix}-1\\[4pt] 2\\[4pt] 4\end{bmatrix}, que tem dimensão \,3\times 1.
  • \displaystyle D=\begin{bmatrix}2 & -1\end{bmatrix}, que tem dimensão \,1\times 2.
A única pergunta é: calcular \,D^{t} C^{t} A^{t}\, (ou, se não for possível, explicar por que).]

Passo 2

Vamos obter as transpostas e suas dimensões. Lembre: a transposta troca linhas por colunas, então a dimensão de \,X^{t}\, é a dimensão de X invertida.
  • \displaystyle D é 1\times 2, então
\displaystyle D^{t}=\begin{bmatrix}2\\[4pt] -1\end{bmatrix},
que tem dimensão \,2\times 1.
  • \displaystyle C é 3\times 1, então
\displaystyle C^{t}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 4\end{bmatrix},
que tem dimensão \,1\times 3.
  • \displaystyle A é 2\times 3, então
\displaystyle A^{t}=\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 1\\[4pt] 3 & -1\end{bmatrix},
que tem dimensão \,3\times 2.]

Passo 3

Antes de multiplicar, verificar compatibilidade das dimensões na ordem proposta \,D^{t} C^{t} A^{t}\,.
A regra de compatibilidade: se X é m\times n e Y é p\times q, então XY está definido somente se n=p, e o resultado tem dimensão m\times q.
Aplicando:
  • \displaystyle D^{t} é 2\times 1 e \displaystyle C^{t} é 1\times 3. O produto \,D^{t}C^{t}\, é compatível (1 = 1) e terá dimensão 2\times 3.
  • O resultado \,D^{t}C^{t}\, será 2\times 3 e \displaystyle A^{t} é 3\times 2. O produto final (D^{t}C^{t})A^{t} é compatível (3 = 3) e terá dimensão 2\times 2.
Portanto a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 2\times 2.

Passo 4

Calcular primeiro \displaystyle D^{t}C^{t}. Esse produto é um produto entre uma coluna \,2\times1 e uma linha \,1\times3, ou seja, um produto exterior que gera uma matriz 2\times3. Compute elemento a elemento:
\displaystyle D^{t}=\begin{bmatrix}2\\[4pt] -1\end{bmatrix},\qquad C^{t}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 4\end{bmatrix}.
O produto é
\displaystyle D^{t}C^{t}= \begin{bmatrix} 2\cdot(-1) & 2\cdot 2 & 2\cdot 4\\[4pt] (-1)\cdot(-1) & (-1)\cdot 2 & (-1)\cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 8\\[4pt] 1 & -2 & -4 \end{bmatrix}.]

Passo 5

Agora multiplicar \displaystyle (D^{t}C^{t})A^{t}. Use a regra de multiplicação de matrizes: cada entrada do produto é o produto escalar entre a linha correspondente da primeira matriz e a coluna correspondente da segunda matriz.
Temos
\displaystyle D^{t}C^{t}=\begin{bmatrix}-2 & 4 & 8\\[4pt] 1 & -2 & -4\end{bmatrix}, \qquad A^{t}=\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 1\\[4pt] 3 & -1\end{bmatrix}.
Calcule as entradas do produto M=(D^{t}C^{t})A^{t}, que será 2\times 2.
  • Entrada (1,1): primeira linha de D^{t}C^{t} dot primeira coluna de A^{t}:
(-2)\cdot 1 + 4\cdot 2 + 8\cdot 3 = -2 + 8 + 24 = 30.
  • Entrada (1,2): primeira linha de D^{t}C^{t} dot segunda coluna de A^{t}:
(-2)\cdot 2 + 4\cdot 1 + 8\cdot(-1) = -4 + 4 - 8 = -8.
  • Entrada (2,1): segunda linha de D^{t}C^{t} dot primeira coluna de A^{t}:
1\cdot 1 + (-2)\cdot 2 + (-4)\cdot 3 = 1 - 4 - 12 = -15.
  • Entrada (2,2): segunda linha de D^{t}C^{t} dot segunda coluna de A^{t}:
1\cdot 2 + (-2)\cdot 1 + (-4)\cdot(-1) = 2 - 2 + 4 = 4.
Portanto o produto final é
\displaystyle D^{t} C^{t} A^{t}= \begin{bmatrix} 30 & -8\\[4pt] -15 & 4 \end{bmatrix}.]

Resposta

\begin{bmatrix} 30 & -8\\[4pt] -15 & 4 \end{bmatrix}]

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