Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
D^{t} C^{t} A^{t}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão \,D^{t} C^{t} A^{t}\, usando as matrizes fornecidas. As matrizes e suas dimensões (extraídas do enunciado) são:
\displaystyle A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\end{bmatrix}, que tem dimensão \,2\times 3.
\displaystyle B=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 0 & 1\end{bmatrix}, que tem dimensão \,2\times 3. (não será usada aqui, mas está no enunciado)
\displaystyle C=\begin{bmatrix}-1\\[4pt] 2\\[4pt] 4\end{bmatrix}, que tem dimensão \,3\times 1.
\displaystyle D=\begin{bmatrix}2 & -1\end{bmatrix}, que tem dimensão \,1\times 2.
A única pergunta é: calcular \,D^{t} C^{t} A^{t}\, (ou, se não for possível, explicar por que).]
Passo 2
Vamos obter as transpostas e suas dimensões. Lembre: a transposta troca linhas por colunas, então a dimensão de \,X^{t}\, é a dimensão de X invertida.
Antes de multiplicar, verificar compatibilidade das dimensões na ordem proposta \,D^{t} C^{t} A^{t}\,.
A regra de compatibilidade: se X é m\times n e Y é p\times q, então XY está definido somente se n=p, e o resultado tem dimensão m\times q.
Aplicando:
\displaystyle D^{t} é 2\times 1 e \displaystyle C^{t} é 1\times 3. O produto \,D^{t}C^{t}\, é compatível (1 = 1) e terá dimensão 2\times 3.
O resultado \,D^{t}C^{t}\, será 2\times 3 e \displaystyle A^{t} é 3\times 2. O produto final (D^{t}C^{t})A^{t} é compatível (3 = 3) e terá dimensão 2\times 2.
Portanto a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 2\times 2.
Passo 4
Calcular primeiro \displaystyle D^{t}C^{t}. Esse produto é um produto entre uma coluna \,2\times1 e uma linha \,1\times3, ou seja, um produto exterior que gera uma matriz 2\times3. Compute elemento a elemento:
Agora multiplicar \displaystyle (D^{t}C^{t})A^{t}. Use a regra de multiplicação de matrizes: cada entrada do produto é o produto escalar entre a linha correspondente da primeira matriz e a coluna correspondente da segunda matriz.