Define-se a potenciação de matrizes como A^{\boldsymbol{n}}=\overbrace{\boldsymbol{A} \cdot \ldots \cdot \boldsymbol{A}}^{\text {nvezes }}. Calcule \left[\begin{array}{rr}-2 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right]^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \left[\begin{array}{rr}-2 & 1 \\[2pt] 3 & 2\end{array}\right]^{3}, isto é, a matriz \boldsymbol{A}^{3}=\underbrace{\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}}_{3\text{ vezes}}. Dados fornecidos:
  • A matriz a ser elevada ao cubo é
\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-2 & 1 \\[2pt] 3 & 2\end{bmatrix}.
A tarefa é calcular explicitamente \boldsymbol{A}^3.]

Passo 2

Lembrete prático sobre multiplicação de matrizes 2×2 (a maneira como vamos calcular): se
\boldsymbol{X}=\begin{bmatrix}x_{11} & x_{12} \\[2pt] x_{21} & x_{22}\end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{Y}=\begin{bmatrix}y_{11} & y_{12} \\[2pt] y_{21} & y_{22}\end{bmatrix},
então o produto \boldsymbol{X}\boldsymbol{Y} é a matriz 2×2 cujos elementos são obtidos por produtos escalares de linhas de \boldsymbol{X} com colunas de \boldsymbol{Y}:
(\boldsymbol{X}\boldsymbol{Y})_{11}=x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21},
(\boldsymbol{X}\boldsymbol{Y})_{12}=x_{11}y_{12}+x_{12}y_{22},
(\boldsymbol{X}\boldsymbol{Y})_{21}=x_{21}y_{11}+x_{22}y_{21},
(\boldsymbol{X}\boldsymbol{Y})_{22}=x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22}.
Vou aplicar essa regra para calcular \boldsymbol{A}^2 primeiro e depois \boldsymbol{A}^3=(\boldsymbol{A}^2)\boldsymbol{A}. Multiplicar duas matrizes 2×2 à mão é rápido porque cada entrada exige só duas multiplicações e uma soma.]

Passo 3

Calcular \boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}. Usando a regra acima, com
\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-2 & 1 \\[2pt] 3 & 2\end{bmatrix},
temos cada entrada:
Entrada (1,1):
(\boldsymbol{A}^2)_{11}=(-2)\cdot(-2)+1\cdot3 = 4+3 = 7.
Entrada (1,2):
(\boldsymbol{A}^2)_{12}=(-2)\cdot1+1\cdot2 = -2+2 = 0.
Entrada (2,1):
(\boldsymbol{A}^2)_{21}=3\cdot(-2)+2\cdot3 = -6+6 = 0.
Entrada (2,2):
(\boldsymbol{A}^2)_{22}=3\cdot1+2\cdot2 = 3+4 = 7.
Portanto,
\boldsymbol{A}^2=\begin{bmatrix}7 & 0 \\[2pt] 0 & 7\end{bmatrix}=7\begin{bmatrix}1 & 0 \\[2pt] 0 & 1\end{bmatrix}=7\boldsymbol{I},
onde \boldsymbol{I} é a matriz identidade 2\times2.
Observação didática rápida: deu sorte — \boldsymbol{A}^2 saiu um múltiplo escalar da identidade, o que simplifica bastante o cálculo de potências maiores. Isso acontece porque os elementos se cancelaram nas entradas fora da diagonal, como vimos nas contas acima.]

Passo 4

Usar a propriedade de multiplicação por escalar: se \boldsymbol{A}^2=7\boldsymbol{I}, então
\boldsymbol{A}^3=(\boldsymbol{A}^2)\boldsymbol{A}=(7\boldsymbol{I})\boldsymbol{A}=7(\boldsymbol{I}\boldsymbol{A})=7\boldsymbol{A}.
Aqui usei que \boldsymbol{I}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} (a identidade não altera a matriz) e que podemos puxar o escalar 7 para fora do produto.

Passo 5

Portanto calcule 7\boldsymbol{A} multiplicando cada entrada de \boldsymbol{A} por 7:
7\boldsymbol{A}=7\begin{bmatrix}-2 & 1 \\[2pt] 3 & 2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}7\cdot(-2) & 7\cdot1 \\[2pt] 7\cdot3 & 7\cdot2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-14 & 7 \\[2pt] 21 & 14\end{bmatrix}.]

Resposta

\begin{bmatrix}-14 & 7 \\[2pt] 21 & 14\end{bmatrix}]

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