Define-se a potenciação de matrizes como A^{\boldsymbol{n}}=\overbrace{\boldsymbol{A} \cdot \ldots \cdot \boldsymbol{A}}^{\text {nvezes }}. Calcule \left[\begin{array}{rr}-2 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right]^{3}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular \left[\begin{array}{rr}-2 & 1 \\[2pt] 3 & 2\end{array}\right]^{3}, isto é, a matriz \boldsymbol{A}^{3}=\underbrace{\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}}_{3\text{ vezes}}. Dados fornecidos:
então o produto \boldsymbol{X}\boldsymbol{Y} é a matriz 2×2 cujos elementos são obtidos por produtos escalares de linhas de \boldsymbol{X} com colunas de \boldsymbol{Y}:
Vou aplicar essa regra para calcular \boldsymbol{A}^2 primeiro e depois \boldsymbol{A}^3=(\boldsymbol{A}^2)\boldsymbol{A}. Multiplicar duas matrizes 2×2 à mão é rápido porque cada entrada exige só duas multiplicações e uma soma.]
Passo 3
Calcular \boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}. Usando a regra acima, com
onde \boldsymbol{I} é a matriz identidade 2\times2.
Observação didática rápida: deu sorte — \boldsymbol{A}^2 saiu um múltiplo escalar da identidade, o que simplifica bastante o cálculo de potências maiores. Isso acontece porque os elementos se cancelaram nas entradas fora da diagonal, como vimos nas contas acima.]
Passo 4
Usar a propriedade de multiplicação por escalar: se \boldsymbol{A}^2=7\boldsymbol{I}, então