Sejam as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), calcule as matrizes produtos:
a) A.B
b) B.A
c) A.B=B.A ? V ou F.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
e
B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
e pede que calculemos:
a) \;A\!B
b) \;B\!A
c) verificar se \;A\!B = B\!A (responder Verdadeiro ou Falso).
Listei tudo que foi dado e as três perguntas; agora vou mostrar passo a passo como multiplicar e calcular cada entrada das matrizes produtos.]

Passo 2

Regra de multiplicação de matrizes (explicando como usar): para duas matrizes X e Y compatíveis (aqui ambas 2\times2), o elemento da linha i e coluna j de XY é dado por
(XY)_{ij} = X_{i1}\,Y_{1j} + X_{i2}\,Y_{2j}.
Isto significa: pegue a linha i de X e a coluna j de Y, multiplique elemento a elemento e some os produtos. Vou aplicar exatamente isso, calculando uma entrada por vez (sem pular etapas), para ficar bem claro como fazer numa prova.

Passo 3

Vamos calcular \;A\!B. Primeiro verificação de compatibilidade: A é 2\times2 e B é 2\times2, então o produto está definido e será uma matriz 2\times2.

Passo 4

Calcular o elemento (A\!B)_{11} (linha 1, coluna 1):
pela fórmula,
(A\!B)_{11} = A_{11}\,B_{11} + A_{12}\,B_{21}.
Substituindo os valores (retiro-os da matriz A e B):
A_{11}=1,\quad A_{12}=1,\quad B_{11}=0,\quad B_{21}=1.
Portanto
(A\!B)_{11} = 1\cdot 0 + 1\cdot 1 = 0 + 1 = 1.

Passo 5

Calcular o elemento (A\!B)_{12} (linha 1, coluna 2):
pela fórmula,
(A\!B)_{12} = A_{11}\,B_{12} + A_{12}\,B_{22}.
Substituindo:
B_{12}=0,\quad B_{22}=1,
logo
(A\!B)_{12} = 1\cdot 0 + 1\cdot 1 = 0 + 1 = 1.

Passo 6

Calcular o elemento (A\!B)_{21} (linha 2, coluna 1):
pela fórmula,
(A\!B)_{21} = A_{21}\,B_{11} + A_{22}\,B_{21}.
Substituindo:
A_{21}=0,\quad A_{22}=1,
então
(A\!B)_{21} = 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 0 + 1 = 1.

Passo 7

Calcular o elemento (A\!B)_{22} (linha 2, coluna 2):
pela fórmula,
(A\!B)_{22} = A_{21}\,B_{12} + A_{22}\,B_{22}.
Substituindo:
(A\!B)_{22} = 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 0 + 1 = 1.

Passo 8

Agora monto a matriz \;A\!B com os elementos calculados:
A\!B = \begin{pmatrix} (A\!B)_{11} & (A\!B)_{12} \\[4pt] (A\!B)_{21} & (A\!B)_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Agora vamos calcular \;B\!A. Verificação: ambas são 2\times2, então o produto está definido e resultará em uma matriz 2\times2.

Passo 10

Calcular (B\!A)_{11} (linha 1, coluna 1):
pela fórmula,
(B\!A)_{11} = B_{11}\,A_{11} + B_{12}\,A_{21}.
Substituindo:
B_{11}=0,\quad B_{12}=0,\quad A_{11}=1,\quad A_{21}=0,
logo
(B\!A)_{11} = 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 0 + 0 = 0.

Passo 11

Calcular (B\!A)_{12} (linha 1, coluna 2):
pela fórmula,
(B\!A)_{12} = B_{11}\,A_{12} + B_{12}\,A_{22}.
Substituindo:
A_{12}=1,\quad A_{22}=1,
então
(B\!A)_{12} = 0\cdot 1 + 0\cdot 1 = 0 + 0 = 0.

Passo 12

Calcular (B\!A)_{21} (linha 2, coluna 1):
pela fórmula,
(B\!A)_{21} = B_{21}\,A_{11} + B_{22}\,A_{21}.
Substituindo:
B_{21}=1,\quad B_{22}=1,\quad A_{11}=1,\quad A_{21}=0,
logo
(B\!A)_{21} = 1\cdot 1 + 1\cdot 0 = 1 + 0 = 1.

Passo 13

Calcular (B\!A)_{22} (linha 2, coluna 2):
pela fórmula,
(B\!A)_{22} = B_{21}\,A_{12} + B_{22}\,A_{22}.
Substituindo:
A_{12}=1,\quad A_{22}=1,
então
(B\!A)_{22} = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 1 + 1 = 2.

Passo 14

Monta-se a matriz \;B\!A com os elementos encontrados:
B\!A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[4pt] 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 15

Comparação final para responder se \;A\!B = B\!A: escrevemos ambas
A\!B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B\!A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[4pt] 1 & 2 \end{pmatrix}.
Observe elemento a elemento: por exemplo o elemento (1,1) de A\!B é 1 enquanto o de B\!A é 0; já o elemento (2,2) de A\!B é 1 enquanto em B\!A é 2. Como existem diferenças, as matrizes não são iguais. Portanto a igualdade é Falsa.]

Resposta

a) \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
b) \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}
c) F (Falso)]

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