Sejam as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), calcule as matrizes produtos:
a) A.B
b) B.A
c) A.B=B.A ? V ou F.
Passo 1
O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
e
B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
e pede que calculemos:
a) \;A\!B
b) \;B\!A
c) verificar se \;A\!B = B\!A (responder Verdadeiro ou Falso).
Listei tudo que foi dado e as três perguntas; agora vou mostrar passo a passo como multiplicar e calcular cada entrada das matrizes produtos.]
Passo 2
Regra de multiplicação de matrizes (explicando como usar): para duas matrizes X e Y compatíveis (aqui ambas 2\times2), o elemento da linha i e coluna j de XY é dado por
(XY)_{ij} = X_{i1}\,Y_{1j} + X_{i2}\,Y_{2j}.
Isto significa: pegue a linha i de X e a coluna j de Y, multiplique elemento a elemento e some os produtos. Vou aplicar exatamente isso, calculando uma entrada por vez (sem pular etapas), para ficar bem claro como fazer numa prova.
Passo 3
Vamos calcular \;A\!B. Primeiro verificação de compatibilidade: A é 2\times2 e B é 2\times2, então o produto está definido e será uma matriz 2\times2.
Passo 4
Calcular o elemento (A\!B)_{11} (linha 1, coluna 1):
pela fórmula,
(A\!B)_{11} = A_{11}\,B_{11} + A_{12}\,B_{21}.
Substituindo os valores (retiro-os da matriz A e B):
Observe elemento a elemento: por exemplo o elemento (1,1) de A\!B é 1 enquanto o de B\!A é 0; já o elemento (2,2) de A\!B é 1 enquanto em B\!A é 2. Como existem diferenças, as matrizes não são iguais. Portanto a igualdade é Falsa.]
Resposta
a) \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
b) \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}
c) F (Falso)]