Determinar x, y e z sabendo que:
\left(\begin{array}{ll}x-2 & 4 \\\ y+1 & 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1 & 2 z-3 \\\\ -3 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 & z \\\\ 2 & 4\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar x, y e z sabendo que a soma de duas matrizes 2\times2 é igual a outra matriz 2\times2. As informações dadas são:
\begin{pmatrix}x-2 & 4 \\[4pt] y+1 & 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 2z-3 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & z \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
A pergunta explícita é: encontrar os valores de x, y e z.]

Passo 2

Propriedade que vamos usar (explicação didática): a adição de matrizes é feita elemento a elemento. Ou seja, se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então
A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12}\\[4pt] a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}.
Portanto, se A+B=C, cada entrada a_{ij}+b_{ij} deve ser igual à correspondente c_{ij}. Vamos aplicar isso aqui, igualando cada posição da matriz resultado.]

Passo 3

Primeiro somamos simbolicamente as entradas correspondentes das duas matrizes à esquerda. A soma fica:
\begin{pmatrix} (x-2)+1 & 4+(2z-3)\\[4pt] (y+1)+(-3) & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & z \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Agora simplificamos cada entrada da esquerda antes de igualar.]

Passo 4

Calculamos a entrada superior esquerda:
(x-2)+1 = x-1.
Igualando à entrada correspondente da matriz à direita temos a equação
x-1 = 3.
Resolvendo essa equação (isolar x somando 1 em ambos os lados):
x = 3 + 1 = 4.

Passo 5

Calculamos a entrada superior direita:
4+(2z-3) = 4 + 2z - 3 = 2z + 1.
Igualando à entrada correspondente da matriz à direita obtemos
2z + 1 = z.
Resolvendo essa equação (subtrair z dos dois lados):
2z - z + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad z + 1 = 0,
logo
z = -1.

Passo 6

Calculamos a entrada inferior esquerda:
(y+1)+(-3) = y+1-3 = y-2.
Igualando à entrada correspondente da matriz à direita obtemos
y-2 = 2.
Resolvendo (somar 2 aos dois lados):
y = 2 + 2 = 4.

Passo 7

Calculamos a entrada inferior direita para verificação:
3+1 = 4,
e isso coincide com a entrada inferior direita da matriz à direita, que é 4. Portanto a equação matriz inteira é consistente com os valores encontrados.

Passo 8

Verificação final substituindo \,x=4,\;y=4,\;z=-1, nas matrizes à esquerda:
\begin{pmatrix}4-2 & 4 \\[4pt] 4+1 & 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 2(-1)-3 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & -5 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix},
e a matriz resultante é exatamente
\begin{pmatrix}3 & z \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}
com z=-1. Tudo confere.]

Resposta

x=4
y=4
z=-1

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