Sejam as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 3 \\\\ 3 & 6 & -3 \\\\ 6 & 6 & 3\end{array}\right]. Caso existam, encontre suas inversas usando o método de eliminação de Gauss-Jordan sobre elas e a identidade. Verifique que são inversas.

Passo 1

Temos as matrizes
A=\begin{pmatrix}3 & 1 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & -2 & 3 \\\\ 3 & 6 & -3 \\\\ 6 & 6 & 3\end{pmatrix}.
O enunciado pede:
  1. Encontrar, quando existirem, as matrizes inversas de A, B e C usando o método de eliminação de Gauss–Jordan aplicado à matriz aumentada [matriz | identidade].
  2. Verificar que, quando existirem, as matrizes encontradas são realmente inversas (isto é, verificar M\cdot M^{-1}=I e/ou M^{-1}\cdot M=I).
As informações relevantes: as três matrizes 3\times3 dadas. Não há mais dados ocultos; temos de aplicar Gauss–Jordan a cada uma.

Passo 2

O que é o método de Gauss–Jordan (explicação didática e passo a passo geral):
  • Para achar a inversa de uma matriz quadrada M supondo que ela exista, montamos a matriz aumentada \bigl[M \mid I\bigr], onde I é a matriz identidade de mesma ordem. O objetivo é aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) para transformar o bloco esquerdo M em I. Se isso for possível, o bloco direito transforma-se em M^{-1}.
  • Operações permitidas (chamadas operações elementares de linha): R_i\leftrightarrow R_j (troca), kR_i com k\neq0 (multiplicar), R_i + kR_j\to R_i (substituir).
  • Se durante o processo aparecer uma linha de zeros no bloco esquerdo e a mesma linha no bloco direito for diferente de zero, então M não é invertível (já que não conseguimos obter I), e a inversa não existe.
  • Vou aplicar esse procedimento em cada matriz; em cada passo escrevo a matriz aumentada e justifico as operações, mostrando todas as contas (sem pular etapas).

Passo 3

Inverso de A. Montamos a matriz aumentada inicial:
\bigl[A\mid I\bigr]= \left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Para facilitar, troco R_1\leftrightarrow R_2 (colocar um pivot 1 na primeira linha) e em seguida multiplico a nova R_1 por -1 para obter pivô 1:
R_1\leftrightarrow R_2,\quad R_1\leftarrow -R_1
resultando em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0\\\\ 3 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Agora zere a coluna 1 nas linhas 2 e 3:
R_2\leftarrow R_2-3R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3+R_1.
Cálculo linha a linha:
  • R_2: [3,1,-2] - 3[1,0,-1] = [0,1,1]. Parte direita: [1,0,0] - 3[0,-1,0] = [1,3,0].
  • R_3: [-1,-1,1] + [1,0,-1] = [0,-1,0]. Parte direita: [0,0,1] + [0,-1,0] = [0,-1,1].
    Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 3 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].
Pivot na coluna 2 já é 1 em R_2. Zere a posição (3,2) somando R_2 em R_3:
R_3\leftarrow R_3+R_2.
Cálculos: linha 3 esquerda: [0,-1,0]+[0,1,1]=[0,0,1]. Direita: [0,-1,1]+[1,3,0]=[1,2,1]. Fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right].
Agora pivot em R_3, coluna 3 é 1. Zere as entradas acima na coluna 3:
  • R_1\leftarrow R_1 + R_3 (pois R_1 tem -1 na coluna 3);
  • R_2\leftarrow R_2 - R_3 (pois R_2 tem +1 na coluna 3).
    Cálculos:
  • R_1 direita: [0,-1,0]+[1,2,1] = [1,1,1]. Esquerda vira [1,0,0].
  • R_2 direita: [1,3,0]-[1,2,1] = [0,1,-1]. Esquerda vira [0,1,0].
    Mantendo R_3 como está, obtemos:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right].
O bloco esquerdo é agora a identidade, logo o bloco direito é A^{-1}. Assim
A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[2pt] 0 & 1 & -1\\[2pt] 1 & 2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificação de A^{-1} (multiplicação para checar identidade). Calculamos A\cdot A^{-1}. Faço os produtos linha por coluna mostrando contas:
  • Entrada (1,1): 3\cdot1 + 1\cdot0 + (-2)\cdot1 = 3 + 0 -2 = 1.
  • Entrada (1,2): 3\cdot1 + 1\cdot1 + (-2)\cdot2 = 3 +1 -4 = 0.
  • Entrada (1,3): 3\cdot1 + 1\cdot(-1) + (-2)\cdot1 = 3 -1 -2 = 0.
  • Entrada (2,1): (-1)\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = -1 +0 +1 = 0.
  • Entrada (2,2): (-1)\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot2 = -1 +0 +2 = 1.
  • Entrada (2,3): (-1)\cdot1 + 0\cdot(-1) + 1\cdot1 = -1 +0 +1 = 0.
  • Entrada (3,1): (-1)\cdot1 + (-1)\cdot0 + 1\cdot1 = -1 +0 +1 =0.
  • Entrada (3,2): (-1)\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot2 = -1 -1 +2 =0.
  • Entrada (3,3): (-1)\cdot1 + (-1)\cdot(-1) + 1\cdot1 = -1 +1 +1 =1.
    Resultado é a identidade I_3. Portanto a matriz encontrada é, de fato, A^{-1}.

Passo 5

Inverso de B. Montamos \bigl[B\mid I\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Para obter pivot 1 na primeira coluna, troco R_1\leftrightarrow R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Elimino a entrada (3,1) com R_3\leftarrow R_3-3R_1:
  • R_3 esquerda: [3,2,4] -3[1,1,2] = [0,-1,-2].
  • R_3 direita: [0,0,1] -3[0,1,0] = [0,-3,1].
    Fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & 1 \end{array}\right].
Para ter pivot 1 na coluna 2, troco R_2\leftrightarrow R_3 (pois R_3 tem -1) e multiplico a nova R_2 por -1:
R_2\leftrightarrow R_3,\quad R_2\leftarrow -R_2,
resultando em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & -1\\\\ 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].
Agora zere as outras entradas na coluna 2:
  • R_1\leftarrow R_1 - R_2: esquerda [1,0,0], direita [0,1,0] - [0,3,-1] = [0,-2,1] mas vamos calcular corretamente: R_1 direita: original [0,1,0] - [0,3,-1] = [0,-2,1].
  • R_3\leftarrow R_3 - 3R_2: R_3 esquerda: [0,3,1] -3[0,1,2] = [0,0,-5]. Direita: [1,0,0] -3[0,3,-1] = [1,-9,3].
    Aplicando:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & -1\\\\ 0 & 0 & -5 & 1 & -9 & 3 \end{array}\right].
Agora pivot em R_3, coluna 3 é -5. Divido R_3 por -5 para obter 1:
R_3\leftarrow \frac{1}{-5}R_3 = R_3\cdot\left(-\tfrac{1}{5}\right).
Fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{9}{5} & -\tfrac{3}{5} \end{array}\right].
Zere a coluna 3 nas linhas 1 e 2:
  • R_2\leftarrow R_2 - 2R_3. Direita R_2: [0,3,-1] - 2[-\tfrac{1}{5},\tfrac{9}{5},-\tfrac{3}{5}] = [\tfrac{2}{5}, -\tfrac{3}{5}, \tfrac{1}{5}]. Esquerda vira [0,1,0].
  • R_1 já tem zero na coluna 3.
    Portanto a matriz final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{9}{5} & -\tfrac{3}{5} \end{array}\right].
O bloco direito é B^{-1}. Assim
B^{-1}= \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1\\[2pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\\[2pt] -\tfrac{1}{5} & \tfrac{9}{5} & -\tfrac{3}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação de B^{-1}. Calculo B\cdot B^{-1} entrada a entrada (mostrando raciocínio):
  • Primeiro elemento (1,1): 0\cdot0 + 3\cdot\tfrac{2}{5} + 1\cdot\bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr) = \tfrac{6}{5} - \tfrac{1}{5} = 1.
  • (1,2): 0\cdot(-2) + 3\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) + 1\cdot\tfrac{9}{5} = -\tfrac{9}{5} + \tfrac{9}{5} = 0.
  • (1,3): 0\cdot1 + 3\cdot\tfrac{1}{5} + 1\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) = \tfrac{3}{5} - \tfrac{3}{5} = 0.
  • (2,1): 1\cdot0 + 1\cdot\tfrac{2}{5} + 2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr) = \tfrac{2}{5} - \tfrac{2}{5} = 0.
  • (2,2): 1\cdot(-2) + 1\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) + 2\cdot\tfrac{9}{5} = -2 - \tfrac{3}{5} + \tfrac{18}{5} = -\tfrac{10}{5} - \tfrac{3}{5} + \tfrac{18}{5} = 1.
  • (2,3): 1\cdot1 + 1\cdot\tfrac{1}{5} + 2\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) = 1 + \tfrac{1}{5} - \tfrac{6}{5} = 0.
  • (3,1): 3\cdot0 + 2\cdot\tfrac{2}{5} + 4\cdot\bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr) = \tfrac{4}{5} - \tfrac{4}{5} = 0.
  • (3,2): 3\cdot(-2) + 2\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) + 4\cdot\tfrac{9}{5} = -6 - \tfrac{6}{5} + \tfrac{36}{5} = 0.
  • (3,3): 3\cdot1 + 2\cdot\tfrac{1}{5} + 4\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) = 3 + \tfrac{2}{5} - \tfrac{12}{5} = 1.
    O produto dá I_3. Portanto B^{-1} está correto.

Passo 7

Análise de C. Montamos \bigl[C\mid I\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 0 & -2 & 3 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 6 & -3 & 0 & 1 & 0\\\\ 6 & 6 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Para pivot na coluna 1, troco R_1\leftrightarrow R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 6 & -3 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 3 & 1 & 0 & 0\\\\ 6 & 6 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Divido R_1 por 3 para ter pivot 1:
R_1\leftarrow \tfrac{1}{3}R_1 = [1\\\ 2\\\ -1\mid 0\\ \tfrac{1}{3}\\\ 0].
Elimino a entrada (3,1) com R_3\leftarrow R_3-6R_1:
  • R_3 esquerda: [6,6,3] -6[1,2,-1] = [0,-6,9].
  • R_3 direita: [0,0,1] -6[0,\tfrac{1}{3},0] = [0,-2,1].
    Fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\\\ 0 & -2 & 3 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -6 & 9 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right].
Agora faço R_2 pivô na coluna 2: divido R_2 por -2:
R_2\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2 = [0\\\ 1\\\ -\tfrac{3}{2}\mid -\tfrac{1}{2}\\\ 0\\\ 0].
Zere coluna 2 nas outras linhas:
  • R_1\leftarrow R_1 - 2R_2. Esquerda vira [1,0,2]. Direita: [0,\tfrac{1}{3},0] -2[-\tfrac{1}{2},0,0] = [1,\tfrac{1}{3},0].
  • R_3\leftarrow R_3 + 6R_2. Esquerda: [0,-6,9] +6[0,1,-\tfrac{3}{2}] = [0,0,0]. Direita: [0,-2,1] +6[-\tfrac{1}{2},0,0] = [-3,-2,1].
    Após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & \tfrac{1}{3} & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right].
Observação crucial: a linha 3 do bloco esquerdo ficou [0\\\ 0\\\ 0] enquanto a linha 3 do bloco direito é [-3\\\ -2\\\ 1], ou seja, não é a linha nula. Isso significa que não podemos transformar o bloco esquerdo em I_3: há uma equação (linha) inconsistente para obter I. Em termos de teoria, o posto da matriz dos coeficientes é menor que 3, logo \det\text{(C)}=0 e C não é invertível.
Portanto não existe matriz C^{-1}.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[2pt]0 & 1 & -1\\[2pt]1 & 2 & 1\end{pmatrix}
B^{-1}=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1\\[2pt]\tfrac{2}{5} & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\\[2pt]-\tfrac{1}{5} & \tfrac{9}{5} & -\tfrac{3}{5}\end{pmatrix}
C não é invertível (não existe C^{-1}).]

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