Encontrar, quando existirem, as matrizes inversas de A, B e C usando o método de eliminação de Gauss–Jordan aplicado à matriz aumentada [matriz | identidade].
Verificar que, quando existirem, as matrizes encontradas são realmente inversas (isto é, verificar M\cdot M^{-1}=I e/ou M^{-1}\cdot M=I).
As informações relevantes: as três matrizes 3\times3 dadas. Não há mais dados ocultos; temos de aplicar Gauss–Jordan a cada uma.
Passo 2
O que é o método de Gauss–Jordan (explicação didática e passo a passo geral):
Para achar a inversa de uma matriz quadrada M supondo que ela exista, montamos a matriz aumentada \bigl[M \mid I\bigr], onde I é a matriz identidade de mesma ordem. O objetivo é aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) para transformar o bloco esquerdo M em I. Se isso for possível, o bloco direito transforma-se em M^{-1}.
Operações permitidas (chamadas operações elementares de linha): R_i\leftrightarrow R_j (troca), kR_i com k\neq0 (multiplicar), R_i + kR_j\to R_i (substituir).
Se durante o processo aparecer uma linha de zeros no bloco esquerdo e a mesma linha no bloco direito for diferente de zero, então M não é invertível (já que não conseguimos obter I), e a inversa não existe.
Vou aplicar esse procedimento em cada matriz; em cada passo escrevo a matriz aumentada e justifico as operações, mostrando todas as contas (sem pular etapas).
Passo 3
Inverso de A. Montamos a matriz aumentada inicial:
Observação crucial: a linha 3 do bloco esquerdo ficou [0\\\ 0\\\ 0] enquanto a linha 3 do bloco direito é [-3\\\ -2\\\ 1], ou seja, não é a linha nula. Isso significa que não podemos transformar o bloco esquerdo em I_3: há uma equação (linha) inconsistente para obter I. Em termos de teoria, o posto da matriz dos coeficientes é menor que 3, logo \det\text{(C)}=0 e C não é invertível.