Seja o sistema linear A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]. Encontre o conjunto solução para os seguintes vetores B usando a inversa de A. B=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz A e pede o conjunto solução do sistema A X = B para um vetor B específico, usando a inversa de A. Informações fornecidas:
O que é pedido: encontrar o vetor X que satisfaz A X = B, usando a inversa de A.]
Passo 2
Plano e justificativa do método: como o enunciado pede "usando a inversa de A", vamos calcular A^{-1} e então usar a fórmula
X = A^{-1} B.
Para calcular A^{-1} de uma matriz 3\times3 pequena, um procedimento direto e didático é usar a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \det(A) é o determinante de A e \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores). Esse método é apropriado aqui porque trabalhar com cofatores em 3\times3 é manualmente simples e evita técnicas de eliminação que podem ter mais passos de linhas.
Passo 3
Calcular o determinante de A. Para uma matriz 3\times3 com elementos a_{ij}, uma fórmula conveniente é
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível e A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (já que dividir por 1 não muda).
Passo 4
Definição e cálculo dos cofatores. Para cada posição (i,j) calculamos o menor M_{ij} (determinante da submatriz obtida ao eliminar linha i e coluna j) e o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Calculemos os nove menores M_{ij} e cofatores C_{ij}:
M_{11}=\det\begin{bmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}=0\cdot1-1\cdot(-1)=1. Logo C_{11}=+1.
M_{12}=\det\begin{bmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}=(-1)\cdot1-1\cdot(-1)=-1+1=0. Logo C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot0=0.
M_{13}=\det\begin{bmatrix}-1 & 0 \\[4pt] -1 & -1\end{bmatrix}=(-1)\cdot(-1)-0\cdot(-1)=1. Logo C_{13}=+1.
M_{21}=\det\begin{bmatrix}1 & -2 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}=1\cdot1-(-2)\cdot(-1)=1-2=-1. Logo C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot(-1)= -(-1)=1.
M_{22}=\det\begin{bmatrix}3 & -2 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}=3\cdot1-(-2)\cdot(-1)=3-2=1. Logo C_{22}=+1.