Seja o sistema linear A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]. Encontre o conjunto solução para os seguintes vetores B usando a inversa de A.
B=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede o conjunto solução do sistema A X = B para um vetor B específico, usando a inversa de A. Informações fornecidas:
A=\begin{bmatrix}3 & 1 & -2 \\[4pt] -1 & 0 & 1 \\[4pt] -1 & -1 & 1\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}1 \\[4pt] 1 \\[4pt] 1\end{bmatrix}.
O que é pedido: encontrar o vetor X que satisfaz A X = B, usando a inversa de A.]

Passo 2

Plano e justificativa do método: como o enunciado pede "usando a inversa de A", vamos calcular A^{-1} e então usar a fórmula
X = A^{-1} B.
Para calcular A^{-1} de uma matriz 3\times3 pequena, um procedimento direto e didático é usar a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \det(A) é o determinante de A e \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores). Esse método é apropriado aqui porque trabalhar com cofatores em 3\times3 é manualmente simples e evita técnicas de eliminação que podem ter mais passos de linhas.

Passo 3

Calcular o determinante de A. Para uma matriz 3\times3 com elementos a_{ij}, uma fórmula conveniente é
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aplicando aos elementos de A:
a_{11}=3,\; a_{12}=1,\; a_{13}=-2,
a_{21}=-1,\; a_{22}=0,\; a_{23}=1,
a_{31}=-1,\; a_{32}=-1,\; a_{33}=1.
Calculemos passo a passo os determinantes das submatrizes:
a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}=0\cdot1-1\cdot(-1)=1,
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}=(-1)\cdot1-1\cdot(-1)=-1+1=0,
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}=(-1)\cdot(-1)-0\cdot(-1)=1.
Agora:
\det(A)=3\cdot 1 - 1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 = 3 - 0 - 2 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível e A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (já que dividir por 1 não muda).

Passo 4

Definição e cálculo dos cofatores. Para cada posição (i,j) calculamos o menor M_{ij} (determinante da submatriz obtida ao eliminar linha i e coluna j) e o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Calculemos os nove menores M_{ij} e cofatores C_{ij}:
  • M_{11}=\det\begin{bmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}=0\cdot1-1\cdot(-1)=1. Logo C_{11}=+1.
  • M_{12}=\det\begin{bmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}=(-1)\cdot1-1\cdot(-1)=-1+1=0. Logo C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot0=0.
  • M_{13}=\det\begin{bmatrix}-1 & 0 \\[4pt] -1 & -1\end{bmatrix}=(-1)\cdot(-1)-0\cdot(-1)=1. Logo C_{13}=+1.
  • M_{21}=\det\begin{bmatrix}1 & -2 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}=1\cdot1-(-2)\cdot(-1)=1-2=-1. Logo C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot(-1)= -(-1)=1.
  • M_{22}=\det\begin{bmatrix}3 & -2 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}=3\cdot1-(-2)\cdot(-1)=3-2=1. Logo C_{22}=+1.
  • M_{23}=\det\begin{bmatrix}3 & 1 \\[4pt] -1 & -1\end{bmatrix}=3\cdot(-1)-1\cdot(-1)=-3+1=-2. Logo C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot(-2) = -(-2)=2.
  • M_{31}=\det\begin{bmatrix}1 & -2 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix}=1\cdot1-(-2)\cdot0=1. Logo C_{31}=+1.
  • M_{32}=\det\begin{bmatrix}3 & -2 \\[4pt] -1 & 1\end{bmatrix}=3\cdot1-(-2)\cdot(-1)=3-2=1. Logo C_{32}=(-1)^{3+2}\cdot1=-1.
  • M_{33}=\det\begin{bmatrix}3 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{bmatrix}=3\cdot0-1\cdot(-1)=1. Logo C_{33}=+1.
Portanto a matriz dos cofatores é
\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\[4pt] C_{21} & C_{22} & C_{23} \\[4pt] C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 2 \\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}.]

Passo 5

Formar a adjunta (adjugate) que é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A)= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}.
Como \det(A)=1, temos
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}.]

Passo 6

Calcular X=A^{-1}B. Multiplicação de matriz por vetor: cada componente de X é o produto escalar da linha correspondente de A^{-1} com B.
Escrevendo
A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix},
temos
x_1 = 1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 3,
x_2 = 0\cdot1 + 1\cdot1 + (-1)\cdot1 = 0,
x_3 = 1\cdot1 + 2\cdot1 + 1\cdot1 = 4.
Logo
X=\begin{bmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]4\end{bmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (confirmação): calcular A X para checar que resulta em B.
A\begin{bmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\cdot3 + 1\cdot0 + (-2)\cdot4 \\[4pt] -1\cdot3 + 0\cdot0 + 1\cdot4 \\[4pt] -1\cdot3 + (-1)\cdot0 + 1\cdot4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 + 0 -8 \\[4pt] -3 + 0 +4 \\[4pt] -3 + 0 +4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix}=B.
A verificação confirma que a solução está correta. Boa! Você conseguiu: X foi encontrado de forma direta usando a inversa.]

Resposta

\displaystyle \begin{bmatrix}3 \\[4pt] 0 \\[4pt] 4\end{bmatrix}]

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