Seja A uma matriz 3 \times 2 genérica com entradas a_{i j}. Mostre que o vetor coluna A X, com X=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right], pode ser escrito como A X=x_{1} \vec{v}_{1}+x_{2} \vec{v}_{2}, onde \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} correspondem à primeira e segunda coluna de A, respectivamente. Assim, A X é uma combinação linear das colunas de A. [Note que X está em \mathbb{R}^{2} mas A X está em \mathbb{R}^{3}.]
Exemplifique.
Convença-se de que isso também vale para qualquer A \sim m \times n.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz genérica A de tamanho 3\times2 com entradas a_{ij} e um vetor coluna X\in\mathbb{R}^{2} escrito como
X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  1. Mostrar que o vetor coluna A X pode ser escrito como A X = x_{1}\vec{v}_{1} + x_{2}\vec{v}_{2}, onde \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são, respectivamente, a primeira e a segunda coluna de A.
  2. Exemplificar com um exemplo numérico.
  3. Convencer-se de que a mesma propriedade vale para qualquer matriz A de dimensão m\times n.
As informações relevantes: A é 3\times2 (portanto A X está em \mathbb{R}^{3}), X tem duas entradas x_{1},x_{2}, e a_{ij} são as entradas de A.]

Passo 2

Escrevo explicitamente A mostrando suas colunas. A matriz A tem a forma
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\\[4pt] a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}.
Defino \vec{v}_{1} como a primeira coluna e \vec{v}_{2} como a segunda coluna:
\vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}a_{11}\\[4pt]a_{21}\\[4pt]a_{31}\end{pmatrix},\qquad \vec{v}_{2}=\begin{pmatrix}a_{12}\\[4pt]a_{22}\\[4pt]a_{32}\end{pmatrix}.
Com essa notação, é comum escrever A como a matriz cujas colunas são \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}:
A = \begin{pmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Vou lembrar e explicar a definição de multiplicação matriz-vetor, porque é a base da demonstração. Se A é m\times n e X é n\times1, então A X é um vetor em \mathbb{R}^{m} cujo i-ésimo componente é o produto escalar (ou soma de produtos) da i-ésima linha de A com o vetor X. Para o nosso caso 3\times2 isso significa, componente a componente,
(AX)_{i} = a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2},\qquad i=1,2,3.
Explicando em palavras: cada entrada de AX é "linha de A · vetor X", ou seja, soma de cada entrada da linha multiplicada pelo correspondente escalar do vetor X.

Passo 4

Calculo A X usando a regra da passo anterior. Escrevo o produto explicitamente:
A X = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\\[4pt] a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\\[4pt] a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\\[4pt] a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2} \end{pmatrix}.
Agora fatoro x_{1} e x_{2} em cada componente para ver a forma de combinação linear:
\begin{pmatrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\\[4pt] a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\\[4pt] a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2} \end{pmatrix} = x_{1} \begin{pmatrix}a_{11}\\[4pt]a_{21}\\[4pt]a_{31}\end{pmatrix} + x_{2} \begin{pmatrix}a_{12}\\[4pt]a_{22}\\[4pt]a_{32}\end{pmatrix}.
Mas reconhecemos os vetores coluna à direita como \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. Portanto chegamos à identidade desejada:
A X = x_{1}\vec{v}_{1} + x_{2}\vec{v}_{2}.]

Passo 5

Explico pedagogicamente o que acabamos de fazer (para você lembrar na prova): multiplicar A por X é o mesmo que formar uma combinação linear das colunas de A, usando as entradas de X como coeficientes. Em linguagem simples: cada coluna de A “contribui” ao resultado com um peso dado pelo correspondente x_{j}. Isso é uma propriedade geral e muito útil — por exemplo, mostra que a imagem (coluna-espaço) da aplicação linear representada por A é gerada pelas colunas de A.

Passo 6

Vamos exemplificar com números para ver na prática. Escolho
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix}, \qquad X=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
As colunas são
\vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix},\qquad \vec{v}_{2}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Faço a combinação linear com x_{1}=2 e x_{2}=-1:
2\vec{v}_{1} + (-1)\vec{v}_{2} = 2\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]6\\[4pt]10\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Agora verifico fazendo A X pela definição (linha·vetor):
A X = \begin{pmatrix} 1\cdot 2 + 2\cdot(-1)\\[4pt] 3\cdot 2 + 4\cdot(-1)\\[4pt] 5\cdot 2 + 6\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]4\end{pmatrix},
o mesmo resultado. Beleza — o exemplo confirma a identidade.]

Passo 7

Agora generalizo: seja A uma matriz m\times n. Denoto suas colunas por \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\dots,\vec{v}_{n}, cada \vec{v}_{j}\in\mathbb{R}^{m}. Escrevo A=\begin{pmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \cdots & \vec{v}_{n}\end{pmatrix} e
X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]\vdots\\[4pt]x_{n}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}.
Pelo mesmo cálculo componente a componente, o produto AX tem i-ésima componente
(AX)_{i} = a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + \cdots + a_{in}x_{n}.
Fatorando os x_{j} em cada linha e agrupando por colunas obtemos a fórmula de combinação linear:
AX = x_{1}\vec{v}_{1} + x_{2}\vec{v}_{2} + \cdots + x_{n}\vec{v}_{n} = \sum_{j=1}^{n} x_{j}\vec{v}_{j}.
Isso mostra que, de forma geral, o produto matriz-vetor sempre é uma combinação linear das colunas da matriz, e portanto AX\in\text{span}\{\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n}\}\subseteq\mathbb{R}^{m}.]

Resposta

A X = x_{1}\vec{v}_{1} + x_{2}\vec{v}_{2}.
No exemplo: com A=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]3&4\\[4pt]5&6\end{pmatrix} e X=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix} obtemos A X=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Geral: se A é m\times n então A X=\displaystyle\sum_{j=1}^{n} x_{j}\vec{v}_{j}, onde \vec{v}_{j} são as colunas de A.]

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