Sendo \mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right)_{3 \times 2}, onde \mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=2 \mathrm{i}-\mathrm{j}, e \mathrm{B}=\left(\mathrm{b}_{\mathrm{ij}}\right)_{3 \times 2}, com \mathrm{b}_{\mathrm{ij}}=\mathrm{i}^{2}+\mathrm{j}, calcule:
a) A - B
b) B - A
c) (A+B)^{t}

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B de dimensão 3\times2 (três linhas e duas colunas). As informações são:
A=(a_{ij})_{3\times2}\quad\text{com}\quad a_{ij}=2i-j,
B=(b_{ij})_{3\times2}\quad\text{com}\quad b_{ij}=i^{2}+j.
As perguntas são:
a) Calcular A-B.
b) Calcular B-A.
c) Calcular (A+B)^{t} (a transposta da soma).
Aqui i representa o índice da linha ( i=1,2,3) e j representa o índice da coluna ( j=1,2). Não começamos a calcular ainda — só listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos construir a matriz A calculando cada entrada usando a_{ij}=2i-j. Para ser bem claro, faço linha por linha:
  • Para i=1: a_{11}=2\cdot1-1=1,\qquad a_{12}=2\cdot1-2=0.
  • Para i=2: a_{21}=2\cdot2-1=3,\qquad a_{22}=2\cdot2-2=2.
  • Para i=3: a_{31}=2\cdot3-1=5,\qquad a_{32}=2\cdot3-2=4.
Portanto, escrevendo a matriz A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 3 & 2\\[4pt] 5 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora construímos a matriz B usando b_{ij}=i^{2}+j. Novamente, linha por linha:
  • Para i=1: b_{11}=1^{2}+1=2,\qquad b_{12}=1^{2}+2=3.
  • Para i=2: b_{21}=2^{2}+1=5,\qquad b_{22}=2^{2}+2=6.
  • Para i=3: b_{31}=3^{2}+1=10,\qquad b_{32}=3^{2}+2=11.
Portanto,
B=\begin{pmatrix} 2 & 3\\[4pt] 5 & 6\\[4pt] 10 & 11 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Explico o conceito de subtração de matrizes: se A e B têm a mesma dimensão, então a diferença A-B é a matriz cujas entradas são (A-B)_{ij}=a_{ij}-b_{ij}. A operação é feita entrada a entrada, ou seja, subtraímos os elementos correspondentes.
Agora calculamos cada entrada de A-B:
  • (A-B)_{11}=1-2=-1.
  • (A-B)_{12}=0-3=-3.
  • (A-B)_{21}=3-5=-2.
  • (A-B)_{22}=2-6=-4.
  • (A-B)_{31}=5-10=-5.
  • (A-B)_{32}=4-11=-7.
Logo,
A-B=\begin{pmatrix} -1 & -3\\[4pt] -2 & -4\\[4pt] -5 & -7 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para B-A podemos usar a mesma ideia: (B-A)_{ij}=b_{ij}-a_{ij}. Note que B-A=-(A-B). Faço as contas (ou simplesmente troco o sinal da matriz anterior):
  • (B-A)_{11}=2-1=1.
  • (B-A)_{12}=3-0=3.
  • (B-A)_{21}=5-3=2.
  • (B-A)_{22}=6-2=4.
  • (B-A)_{31}=10-5=5.
  • (B-A)_{32}=11-4=7.
Assim,
B-A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\[4pt] 2 & 4\\[4pt] 5 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calculamos (A+B)^{t}. Primeiro a soma A+B é definida entrada a entrada: (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. Calculo cada entrada:
  • (A+B)_{11}=1+2=3.
  • (A+B)_{12}=0+3=3.
  • (A+B)_{21}=3+5=8.
  • (A+B)_{22}=2+6=8.
  • (A+B)_{31}=5+10=15.
  • (A+B)_{32}=4+11=15.
Portanto,
A+B=\begin{pmatrix} 3 & 3\\[4pt] 8 & 8\\[4pt] 15 & 15 \end{pmatrix}.
Agora a transposta de uma matriz troca linhas por colunas: se C é m\times n, então C^{t} é n\times m e (C^{t})_{ji}=C_{ij}. Aplicando isso a A+B (que é 3\times2), obtemos uma matriz 2\times3 cujas linhas são as colunas de A+B. As colunas de A+B são \begin{pmatrix}3\\[2pt]8\\[2pt]15\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}3\\[2pt]8\\[2pt]15\end{pmatrix}, então:
(A+B)^{t}=\begin{pmatrix} 3 & 8 & 15\\[4pt] 3 & 8 & 15 \end{pmatrix}.]

Resposta

a)
A-B=\begin{pmatrix} -1 & -3\\[4pt] -2 & -4\\[4pt] -5 & -7 \end{pmatrix}
b)
B-A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\[4pt] 2 & 4\\[4pt] 5 & 7 \end{pmatrix}
c)
(A+B)^{t}=\begin{pmatrix} 3 & 8 & 15\\[4pt] 3 & 8 & 15 \end{pmatrix}]

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