Verifique se o conjunto das derivadas de polinômios em
forma um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado fornece o espaço de polinômios
e pede para verificar se o conjunto formado pelas derivadas desses polinômios (isto é, o conjunto
) é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada
tem a forma . - Queremos o conjunto
. - A pergunta é:
é um subespaço vetorial de ? (ou seja, e satisfaz as propriedades de subespaço.)
Passo 2
Vamos calcular a derivada de um polinômio genérico de
e ver que tipo de polinômio obtemos. Seja
A regra básica da derivada para potências é:
. Aplicando termo a termo (e explicando cada coeficiente):
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
(constante) é .
Portanto
Passo 3
A partir do cálculo anterior, concluímos que toda derivada
de um polinômio em
é um polinômio da forma
onde
,
e
. Isso mostra imediatamente que todo elemento de
tem grau no máximo
. Ou seja,
onde
é o conjunto dos polinômios de grau no máximo
.
Passo 4
Agora vamos mostrar que, na verdade, qualquer polinômio de grau no máximo
é a derivada de algum polinômio em
. Ou seja, vamos provar
.
Seja um polinômio genérico em
:
Queremos encontrar
tal que
. Para isso construímos uma primitiva (antiderivada) de
. As regras de antiderivação termo a termo são inversas das regras de derivação: a antiderivada de
é
.
Aplicando isso:
- Uma antiderivada de
é . - Uma antiderivada de
é . - Uma antiderivada de
é .
Assim uma primitiva geral é
onde
é uma constante arbitrária. Note que
tem grau no máximo
, portanto
. Calculando a derivada de
confirmamos:
Isso prova que todo
é derivada de algum
, logo
Passo 5
Das inclusões obtidas nos passos anteriores temos
e
. Portanto
Ou seja, o conjunto das derivadas de polinômios em
coincide com
, o subespaço dos polinômios de grau no máximo
.
Passo 6
Para concluir, basta lembrar que
é um subespaço vetorial de
. Para reforçar pedagogicamente, verifico as três propriedades de subespaço para
(mesma verificação serve para
já que
):
- Não vazio: o polinômio nulo
pertence a . - Fechamento por soma: se
e estão em , então
também tem grau no máximo
, logo está em
.
- Fechamento por multiplicação escalar: para escalar
,
tem grau no máximo
, logo está em
.
Essas três propriedades mostram que
é subespaço de
. Como
, concluímos que
é subespaço de
.
Resposta
Sim. O conjunto das derivadas de polinômios em
é um subespaço vetorial de
; de fato ele coincide com
, o conjunto dos polinômios de grau no máximo
.