Verifique se o conjunto das derivadas de polinômios em
P_{3}=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}
forma um subespaço vetorial de P_{3}.

Passo 1

O enunciado fornece o espaço de polinômios
P_{3}=\{a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\mid a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{R}\}
e pede para verificar se o conjunto formado pelas derivadas desses polinômios (isto é, o conjunto \{p'(x)\mid p\in P_{3}\}) é um subespaço vetorial de P_{3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada p\in P_{3} tem a forma p(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.
  • Queremos o conjunto S=\{p'(x)\mid p\in P_{3}\}.
  • A pergunta é: S é um subespaço vetorial de P_{3}? (ou seja, S\subseteq P_{3} e satisfaz as propriedades de subespaço.)

Passo 2

Vamos calcular a derivada de um polinômio genérico de P_{3} e ver que tipo de polinômio obtemos. Seja
p(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.
A regra básica da derivada para potências é: (x^{n})' = n x^{n-1}. Aplicando termo a termo (e explicando cada coeficiente):
  • A derivada de a_{3}x^{3} é a_{3}\cdot 3x^{2}=3a_{3}x^{2}.
  • A derivada de a_{2}x^{2} é a_{2}\cdot 2x=2a_{2}x.
  • A derivada de a_{1}x é a_{1}.
  • A derivada de a_{0} (constante) é 0.
Portanto
p'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}.

Passo 3

A partir do cálculo anterior, concluímos que toda derivada p'(x) de um polinômio em P_{3} é um polinômio da forma
b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},
onde b_{2}=3a_{3}, b_{1}=2a_{2} e b_{0}=a_{1}. Isso mostra imediatamente que todo elemento de S tem grau no máximo 2. Ou seja,
S\subseteq P_{2},
onde P_{2} é o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2.

Passo 4

Agora vamos mostrar que, na verdade, qualquer polinômio de grau no máximo 2 é a derivada de algum polinômio em P_{3}. Ou seja, vamos provar P_{2}\subseteq S.
Seja um polinômio genérico em P_{2}:
q(x)=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.
Queremos encontrar p\in P_{3} tal que p'(x)=q(x). Para isso construímos uma primitiva (antiderivada) de q. As regras de antiderivação termo a termo são inversas das regras de derivação: a antiderivada de x^{n} é \frac{1}{n+1}x^{n+1}.
Aplicando isso:
  • Uma antiderivada de b_{2}x^{2} é \frac{b_{2}}{3}x^{3}.
  • Uma antiderivada de b_{1}x é \frac{b_{1}}{2}x^{2}.
  • Uma antiderivada de b_{0} é b_{0}x.
Assim uma primitiva geral é
p(x)=\frac{b_{2}}{3}x^{3}+\frac{b_{1}}{2}x^{2}+b_{0}x+C,
onde C é uma constante arbitrária. Note que p(x) tem grau no máximo 3, portanto p\in P_{3}. Calculando a derivada de p confirmamos:
p'(x)=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}=q(x).
Isso prova que todo q\in P_{2} é derivada de algum p\in P_{3}, logo
P_{2}\subseteq S.

Passo 5

Das inclusões obtidas nos passos anteriores temos S\subseteq P_{2} e P_{2}\subseteq S. Portanto
S = P_{2}.
Ou seja, o conjunto das derivadas de polinômios em P_{3} coincide com P_{2}, o subespaço dos polinômios de grau no máximo 2.

Passo 6

Para concluir, basta lembrar que P_{2} é um subespaço vetorial de P_{3}. Para reforçar pedagogicamente, verifico as três propriedades de subespaço para P_{2} (mesma verificação serve para S já que S=P_{2}):
  • Não vazio: o polinômio nulo 0 pertence a P_{2}.
  • Fechamento por soma: se r_{1}(x)=c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0} e r_{2}(x)=d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0} estão em P_{2}, então
r_{1}(x)+r_{2}(x)=(c_{2}+d_{2})x^{2}+(c_{1}+d_{1})x+(c_{0}+d_{0})
também tem grau no máximo 2, logo está em P_{2}.
  • Fechamento por multiplicação escalar: para escalar \lambda\in\mathbb{R},
\lambda r_{1}(x)=\lambda c_{2}x^{2}+\lambda c_{1}x+\lambda c_{0}
tem grau no máximo 2, logo está em P_{2}.
Essas três propriedades mostram que P_{2} é subespaço de P_{3}. Como S=P_{2}, concluímos que S é subespaço de P_{3}.

Resposta

Sim. O conjunto das derivadas de polinômios em P_{3} é um subespaço vetorial de P_{3}; de fato ele coincide com P_{2}, o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2.

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