Seja M um subespaço fechado de um espaço de Hilbert H.
(a) Se PM é a projeção ortogonal de H em M mostre que I d-PM é a de H em M^perp.
(b) Mostre que M^perp perp=M.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que I-PM é a projeção ortogonal de H sobre M^perp, onde PM é a projeção ortogonal em M;
(b) provar que M^perpperp=M.
O conteúdo usado será a decomposição ortogonal em espaços de Hilbert e as propriedades de projeções ortogonais (idempotência, autoadjunta, imagem e núcleo).

Passo 2

Mostramos que I-PM é uma projeção. De fato,
(I-PM)^2 ;=; I - 2PM + PM^2 ;=; I - 2PM + PM ;=; I - PM,
pois PM^2=PM. Além disso, como PM é autoadjunta, (I-PM)^*=I-PM. Logo I-PM é idempotente e autoadjunta.

Passo 3

Mostramos . Seja e ponha . Como e , pela propriedade da projeção ortogonal temos
Como , concluímos , ou seja .

Passo 4

Mostramos . Se então pela unicidade da decomposição ortogonal. Logo
e assim .

Passo 5

Dos passos 2–4 segue que é idempotente, autoadjunta e . Portanto é exatamente a projeção ortogonal de em .

Passo 6

Sempre vale a inclusão Msubset M^perpperp, pois qualquer xin M satisfaz lang<= x,yrang<==0 para todo yin M^perp.

Passo 7

Para a outra inclusão, tome xin M^perpperp. Pela decomposição ortogonal em Moplus M^perp escrevemos
x=PMx + (I-PM)x
Como xperp M^perp, temos
lang<= x,,(I-PM)xrang<==0,
mas (I-PM)xin M^perp, portanto
|(I-PM)x|^2 =lang<= (I-PM)x,,(I-PM)xrang<= =lang<= x,,(I-PM)xrang<= =0
Logo (I-PM)x=0 e daí x=PMxin M. Assim M^perpperpsubset M.

Passo 8

Combinando as inclusões dos passos 6 e 7, obtemos M^perpperp=M.

Resposta

(a) I-PM é de fato a projeção ortogonal de H em M^perp.
(b) Para M fechado vale M^perpperp=M.

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