Seja
um subespaço fechado de um espaço de Hilbert
.
(a) Se
é a projeção ortogonal de
em
mostre que
é a de
em
.
(b) Mostre que
.
(a) Se
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que é a projeção ortogonal de
sobre
, onde
é a projeção ortogonal em
;
(b) provar que .
O conteúdo usado será a decomposição ortogonal em espaços de Hilbert e as propriedades de projeções ortogonais (idempotência, autoadjunta, imagem e núcleo).
(a) mostrar que
(b) provar que
O conteúdo usado será a decomposição ortogonal em espaços de Hilbert e as propriedades de projeções ortogonais (idempotência, autoadjunta, imagem e núcleo).
Passo 2
Mostramos que
é uma projeção. De fato,
pois
. Além disso, como
é autoadjunta,
. Logo
é idempotente e autoadjunta.
Passo 3
Mostramos . Seja
e ponha
. Como
e
, pela propriedade da projeção ortogonal temos
Como , concluímos
, ou seja
.
Passo 4
Mostramos . Se
então
pela unicidade da decomposição ortogonal. Logo
e assim .
Passo 5
Dos passos 2–4 segue que
é idempotente, autoadjunta e . Portanto
é exatamente a projeção ortogonal de
em
.
Passo 6
Sempre vale a inclusão
, pois qualquer
satisfaz
para todo
.
Passo 7
Para a outra inclusão, tome
. Pela decomposição ortogonal em
escrevemos
Como
, temos
,
mas , portanto
mas
Logo
e daí
. Assim
.
Passo 8
Combinando as inclusões dos passos 6 e 7, obtemos
.
Resposta
(a)
é de fato a projeção ortogonal de
em
.
(b) Para fechado vale
.
(b) Para