Sejam as matrizes de transformação abaixo. Identifique se T é injetora, sobrejetora ou ambos.
\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Utilize o fato de que o posto e a nulidade de
T são iguais a \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T) e \operatorname{dim}(\operatorname{ker} T), respectivamente.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz de transformação linear T (assumimos a transformação padrão T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} associada a essa matriz) e pede para identificar se T é injetora, sobrejetora ou ambos. Informações dadas:
  • A matriz de T é
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
  • Foi lembrado que o posto ( \operatorname{rank} T) e a nulidade ( \operatorname{nullity} T) são, respectivamente, \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T) e \operatorname{dim}(\ker T).
    As perguntas explícitas são:
  • T é injetora (um a um)?
  • T é sobrejetora (sobre)?
  • Se for ambas, seria bijetora.]

Passo 2

Interpretação da matriz e colunas: escrever os vetores-coluna de A. As colunas de A são
v_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Lembrete didático: a imagem de T (também chamada de coluna-espaço) é o subespaço gerado pelas colunas da matriz. Portanto \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.]

Passo 3

Calcular o posto ( \operatorname{dim}(\operatorname{Im}T)): observar independência linear das colunas. Os vetores v_1 e v_2 são claramente linearmente independentes (não há escalares a,b não-triviais com a v_1 + b v_2=0), e v_3 é o vetor nulo que não acrescenta dimensão. Logo as colunas geram um subespaço de dimensão 2. Portanto
\operatorname{rank}T=\operatorname{dim}(\operatorname{Im}T)=2.
Explicação extra: para matrizes diagonais, o posto é o número de entradas diagonais não nulas; aqui as diagonais são 2,1,0, então há 2 entradas não nulas → posto 2.

Passo 4

Determinar o núcleo ( \ker T\)) e sua dimensão (nulidade): resolver \(A x=0\) com \(x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix}\). O sistema corresponde a \[\begin{cases} 2x_1=0,\\[4pt] x_2=0,\\[4pt] 0\cdot x_3=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações obtém-se x_1=0\] e \(x_2=0. A terceira equação é sempre satisfeita e deixa x_3 livre. Portanto os vetores do núcleo têm a forma
x=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Assim
\ker T=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}, \qquad \operatorname{nullity}T=\operatorname{dim}(\ker T)=1.]

Passo 5

Verificação pelo teorema posto–nulidade (rank–nullity): para uma transformação linear de \mathbb{R}^{3} vale
\operatorname{dim}(\mathbb{R}^{3})=\operatorname{rank}T+\operatorname{nullity}T.
Substituindo os valores encontrados:
3 = 2 + 1,
o que confirma consistência dos cálculos.

Passo 6

Usar definições para concluir sobre injetividade e sobrejetividade.
  • Definição didática: T é injetora se e somente se \ker T=\{0\}, isto é, se a nulidade for 0. Aqui \operatorname{nullity}T=1\neq0. Logo T não é injetora.
  • Definição didática: T é sobrejetora (quando o contradomínio é \mathbb{R}^{3}) se e somente se \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{3}, ou equivalentemente \operatorname{rank}T=\operatorname{dim}(\mathbb{R}^{3})=3. Aqui \operatorname{rank}T=2<3. Logo T não é sobrejetora.
    Comentário amigo: em palavras, a transformação “aplana” a terceira coordenada (tudo fica com terceira coordenada zero), por isso perde informação (não é injetora) e não atinge vetores com terceira componente não nula (não é sobrejetora).

Resposta

T não é injetora nem sobrejetora.

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