Sejam as matrizes de transformação abaixo. Identifique se T é injetora, sobrejetora ou ambos. \left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Utilize o fato de que o posto e a nulidade de
T são iguais a \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T) e \operatorname{dim}(\operatorname{ker} T), respectivamente.
Passo 1
O enunciado fornece a matriz de transformação linear T (assumimos a transformação padrão T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} associada a essa matriz) e pede para identificar se T é injetora, sobrejetora ou ambos. Informações dadas:
Foi lembrado que o posto (\operatorname{rank} T) e a nulidade (\operatorname{nullity} T) são, respectivamente, \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T) e \operatorname{dim}(\ker T).
As perguntas explícitas são:
T é injetora (um a um)?
T é sobrejetora (sobre)?
Se for ambas, seria bijetora.]
Passo 2
Interpretação da matriz e colunas: escrever os vetores-coluna de A. As colunas de A são
Lembrete didático: a imagem de T (também chamada de coluna-espaço) é o subespaço gerado pelas colunas da matriz. Portanto \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.]
Passo 3
Calcular o posto (\operatorname{dim}(\operatorname{Im}T)): observar independência linear das colunas. Os vetores v_1 e v_2 são claramente linearmente independentes (não há escalares a,b não-triviais com a v_1 + b v_2=0), e v_3 é o vetor nulo que não acrescenta dimensão. Logo as colunas geram um subespaço de dimensão 2. Portanto
Explicação extra: para matrizes diagonais, o posto é o número de entradas diagonais não nulas; aqui as diagonais são 2,1,0, então há 2 entradas não nulas → posto 2.
Passo 4
Determinar o núcleo (\ker T\)) e sua dimensão (nulidade): resolver \(A x=0\) com \(x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix}\). O sistema corresponde a
\[\begin{cases} 2x_1=0,\\[4pt] x_2=0,\\[4pt] 0\cdot x_3=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações obtém-se x_1=0\] e \(x_2=0. A terceira equação é sempre satisfeita e deixa x_3 livre. Portanto os vetores do núcleo têm a forma
Usar definições para concluir sobre injetividade e sobrejetividade.
Definição didática: T é injetora se e somente se \ker T=\{0\}, isto é, se a nulidade for 0. Aqui \operatorname{nullity}T=1\neq0. Logo T não é injetora.
Definição didática: T é sobrejetora (quando o contradomínio é \mathbb{R}^{3}) se e somente se \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{3}, ou equivalentemente \operatorname{rank}T=\operatorname{dim}(\mathbb{R}^{3})=3. Aqui \operatorname{rank}T=2<3. Logo T não é sobrejetora.
Comentário amigo: em palavras, a transformação “aplana” a terceira coordenada (tudo fica com terceira coordenada zero), por isso perde informação (não é injetora) e não atinge vetores com terceira componente não nula (não é sobrejetora).