15-8 Sejam A=(1,1,2), B=(0,1,2), C=(1,1,0) e D=(0,1,0), em relação a um sistema ortogonal de coordenadas de origem O.
(a) Verifique que A, B, C e D são vértices de um retângulo e obtenha uma equação geral do plano \pi que os contém.
(b) Uma fonte de luz situada em O projeta sobre o plano \pi_{1}, paralelo a \pi, a sombra do anteparo A B C D. Mostre que a sombra é retangular.
(c) Supondo que a área da sombra seja 8, determine seus vértices e obtenha uma equação geral de \pi_{1}.

Passo 1

Dados fornecidos (coordenadas dos pontos):
  • A=(1,1,2)
  • B=(0,1,2)
  • C=(1,1,0)
  • D=(0,1,0)
O enunciado pede:
(a) Verificar que A,B,C,D são vértices de um retângulo e obter uma equação geral do plano \pi que os contém.
(b) Mostrar que, se uma fonte de luz está em O e projeta sobre um plano \pi_1 paralelo a \pi a sombra do anteparo ABCD, essa sombra é retangular.
(c) Admitindo que a área da sombra é 8, determinar os vértices da sombra e obter uma equação geral de \pi_1.

Passo 2

Verificação de que quatro pontos formam um retângulo — primeiro examinar vetores dos lados e perpendicularidade.
Definimos vetores a partir de A:
\vec{AB}=B-A=(0-1,\;1-1,\;2-2)=(-1,0,0),
\vec{AC}=C-A=(1-1,\;1-1,\;0-2)=(0,0,-2).
Para mostrar que em A se encontram dois lados adjacentes perpendiculares, calculamos o produto escalar:
\vec{AB}\cdot\vec{AC}=(-1,0,0)\cdot(0,0,-2)=(-1)\cdot0+0\cdot0+0\cdot(-2)=0.
Produto escalar zero significa que os vetores são perpendiculares. Portanto os segmentos AB e AC são adjacentes e perpendiculares em A.
Agora comprimentos (normas):
\|\vec{AB}\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1, \qquad \|\vec{AC}\|=\sqrt{0^2+0^2+(-2)^2}=2.
Num retângulo, lados opostos são paralelos e iguais. Verificamos CD e BD rapidamente:
Calcule \vec{CD}=D-C=(0-1,\;1-1,\;0-0)=(-1,0,0)=\vec{AB}.
Calcule \vec{BD}=D-B=(0-0,\;1-1,\;0-2)=(0,0,-2)=\vec{AC}.
Como \vec{CD}=\vec{AB} e \vec{BD}=\vec{AC}, os lados opostos são paralelos e de igual comprimento. Com um par de lados adjacentes perpendiculares e lados opostos iguais e paralelos, concluímos que A,B,C,D são vértices de um retângulo (com lados AB e AC).

Passo 3

Encontre a equação do plano \pi que contém os quatro pontos.
Observe que todas as coordenadas y dos pontos são iguais a 1: A_y=B_y=C_y=D_y=1. Logo todos os pontos pertencem ao plano dado por
y=1.
Escrever em forma geral (ax+by+cz+d=0):
0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z -1 = 0,
ou simplesmente
y-1=0.
O vetor normal a \pi é \mathbf{n}=(0,1,0).

Passo 4

Entender a projeção central a partir da origem O sobre um plano \pi_1 paralelo a \pi.
Se \pi tem equação y=1, um plano paralelo tem equação y=y_0 para algum y_0\in\mathbb{R} (ou seja, mesma normal (0,1,0)). Seja P=(x,1,z) um ponto qualquer de \pi. A reta que liga O=(0,0,0) a P é parametrizada por
\ell(t)=tP=(tx,\,t\cdot1,\,tz).
A interseção dessa reta com \pi_1:\\ y=y_0 ocorre quando a segunda coordenada satisfaz t\cdot1=y_0, isto é
t=y_0.
Portanto a imagem P' de P na projeção é
P'=\ell(y_0)=(y_0 x,\;y_0,\;y_0 z).
Isso mostra que a projeção de \pi sobre \pi_1 pela origem é uma homotetia centrada em O com razão k=y_0: cada coordenada do ponto é multiplicada por y_0.

Passo 5

Mostrar que a sombra é retangular (parte (b)).
Uma homotetia centrada em O com razão k tem as propriedades: envia retas em retas, preserva paralelismo e preserva ângulos (é uma semelhança). Se aplicarmos essa homotetia ao retângulo ABCD obtemos um quadrilátero cujos lados são imagens dos lados de ABCD; como homotetia preserva perpendicularidade e paralelismo, os lados adjacentes continuam perpendiculares e os lados opostos continuam paralelos e iguais entre si em proporção k. Logo a imagem de um retângulo por uma homotetia é outro retângulo. Portanto a sombra projetada em \pi_1 é retangular.
(Em termos vetoriais, se \vec{AB}'=k\vec{AB} e \vec{AC}'=k\vec{AC}, então \vec{AB}'\cdot\vec{AC}'=k^2(\vec{AB}\cdot\vec{AC})=0, mantendo a perpendicularidade.)

Passo 6

Relacionar áreas e calcular a razão da homotetia a partir da área da sombra (parte (c)).
Área do retângulo original ABCD: como os lados adjacentes têm comprimentos \|\vec{AB}\|=1 e \|\vec{AC}\|=2, a área é
\mathcal{A}_{\text{orig}}=1\cdot 2 = 2.
Sob uma homotetia de razão k (aqui k=y_0), áreas são multiplicadas por k^2. Assim a área da sombra é
\mathcal{A}_{\text{sombra}}=k^2\cdot\mathcal{A}_{\text{orig}}=k^2\cdot 2.
Impondo \mathcal{A}_{\text{sombra}}=8,
k^2\cdot 2 = 8 \quad\Rightarrow\quad k^2=4 \quad\Rightarrow\quad k=\pm 2.
Como k=y_0 é a coordenada y do plano \pi_1, temos duas possibilidades para \pi_1:
\pi_1:\\ y=2 \quad\text{(razão }k=2\text{)}ã
ou
\pi_1:\\ y=-2 \quad\text{(razão }k=-2\text{)}.ã

Passo 7

Determinar os vértices da sombra (imagens dos vértices por homotetia de razão k).
A imagem de um ponto P=(x,1,z) pela homotetia com razão k é P'=(kx,\,k,\,kz). Aplicando aos quatro vértices:
Para k=2 (plano \pi_1:\\ y=2):
A' = 2A = (2,2,4), \qquad B' = 2B = (0,2,4),
C' = 2C = (2,2,0), \qquad D' = 2D = (0,2,0).
Para k=-2 (plano \pi_1:\\ y=-2):
A' = -2A = (-2,-2,-4), \qquad B' = -2B = (0,-2,-4),
C' = -2C = (-2,-2,0), \qquad D' = -2D = (0,-2,0).
Ambas as possibilidades produzem um retângulo cuja área absoluta vale 8. Em contexto físico normalmente escolhe-se k=2 (plano do mesmo lado positivo de y), ficando \pi_1:\\ y=2 e vértices como listados para k=2.

Resposta

(a) A,B,C,D são vértices de um retângulo; equação geral do plano \pi: y-1=0.
(b) A sombra é retangular (a projeção é uma homotetia centrada em O, que preserva ângulos e paralelismo).
(c) As possíveis razões da homotetia são k=\pm 2.
  • Para k=2 (plano \pi_1:\\ y=2): vértices da sombra A'=(2,2,4), B'=(0,2,4), C'=(2,2,0), D'=(0,2,0); equação de \pi_1: y-2=0.
  • Para k=-2 (plano \pi_1:\\ y=-2): vértices da sombra A'=(-2,-2,-4), B'=(0,-2,-4), C'=(-2,-2,0), D'=(0,-2,0); equação de \pi_1: y+2=0.

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