15-8 Sejam
e
, em relação a um sistema ortogonal de coordenadas de origem
.
(a) Verifique que
e
são vértices de um retângulo e obtenha uma equação geral do plano
que os contém.
(b) Uma fonte de luz situada em
projeta sobre o plano
, paralelo a
, a sombra do anteparo
. Mostre que a sombra é retangular.
(c) Supondo que a área da sombra seja 8, determine seus vértices e obtenha uma equação geral de
.
(a) Verifique que
(b) Uma fonte de luz situada em
(c) Supondo que a área da sombra seja 8, determine seus vértices e obtenha uma equação geral de
Passo 1
Dados fornecidos (coordenadas dos pontos):
O enunciado pede:
(a) Verificar que são vértices de um retângulo e obter uma equação geral do plano
que os contém.
(b) Mostrar que, se uma fonte de luz está em e projeta sobre um plano
paralelo a
a sombra do anteparo
, essa sombra é retangular.
(c) Admitindo que a área da sombra é , determinar os vértices da sombra e obter uma equação geral de
.
(a) Verificar que
(b) Mostrar que, se uma fonte de luz está em
(c) Admitindo que a área da sombra é
Passo 2
Verificação de que quatro pontos formam um retângulo — primeiro examinar vetores dos lados e perpendicularidade.
Definimos vetores a partir de
:
Para mostrar que em
se encontram dois lados adjacentes perpendiculares, calculamos o produto escalar:
Produto escalar zero significa que os vetores são perpendiculares. Portanto os segmentos
e
são adjacentes e perpendiculares em
.
Agora comprimentos (normas):
Num retângulo, lados opostos são paralelos e iguais. Verificamos
e
rapidamente:
Calcule
.
Calcule .
Calcule
Como
e
, os lados opostos são paralelos e de igual comprimento. Com um par de lados adjacentes perpendiculares e lados opostos iguais e paralelos, concluímos que
são vértices de um retângulo (com lados
e
).
Passo 3
Encontre a equação do plano
que contém os quatro pontos.
Observe que todas as coordenadas
dos pontos são iguais a
:
. Logo todos os pontos pertencem ao plano dado por
Escrever em forma geral (ax+by+cz+d=0):
ou simplesmente
O vetor normal a
é
.
Passo 4
Entender a projeção central a partir da origem
sobre um plano
paralelo a
.
Se
tem equação
, um plano paralelo tem equação
para algum
(ou seja, mesma normal
). Seja
um ponto qualquer de
. A reta que liga
a
é parametrizada por
A interseção dessa reta com
ocorre quando a segunda coordenada satisfaz
, isto é
Portanto a imagem
de
na projeção é
Isso mostra que a projeção de
sobre
pela origem é uma homotetia centrada em
com razão
: cada coordenada do ponto é multiplicada por
.
Passo 5
Mostrar que a sombra é retangular (parte (b)).
Uma homotetia centrada em
com razão
tem as propriedades: envia retas em retas, preserva paralelismo e preserva ângulos (é uma semelhança). Se aplicarmos essa homotetia ao retângulo
obtemos um quadrilátero cujos lados são imagens dos lados de
; como homotetia preserva perpendicularidade e paralelismo, os lados adjacentes continuam perpendiculares e os lados opostos continuam paralelos e iguais entre si em proporção
. Logo a imagem de um retângulo por uma homotetia é outro retângulo. Portanto a sombra projetada em
é retangular.
(Em termos vetoriais, se
e
, então
, mantendo a perpendicularidade.)
Passo 6
Relacionar áreas e calcular a razão da homotetia a partir da área da sombra (parte (c)).
Área do retângulo original
: como os lados adjacentes têm comprimentos
e
, a área é
Sob uma homotetia de razão
(aqui
), áreas são multiplicadas por
. Assim a área da sombra é
Impondo
,
Como
é a coordenada
do plano
, temos duas possibilidades para
:
ou
Passo 7
Determinar os vértices da sombra (imagens dos vértices por homotetia de razão
).
A imagem de um ponto
pela homotetia com razão
é
. Aplicando aos quatro vértices:
Para
(plano
):
Para
(plano
):
Ambas as possibilidades produzem um retângulo cuja área absoluta vale
. Em contexto físico normalmente escolhe-se
(plano do mesmo lado positivo de
), ficando
e vértices como listados para
.
Resposta
(a)
são vértices de um retângulo; equação geral do plano
:
.
(b) A sombra é retangular (a projeção é uma homotetia centrada em , que preserva ângulos e paralelismo).
(c) As possíveis razões da homotetia são .
(b) A sombra é retangular (a projeção é uma homotetia centrada em
(c) As possíveis razões da homotetia são
- Para
(plano ): vértices da sombra , , , ; equação de : . - Para
(plano ): vértices da sombra , , , ; equação de : .