Sejam as matrizes de transformação abaixo. Identifique se T é injetora, sobrejetora ou ambos. \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]
Utilize o fato de que o posto e a nulidade de
T são iguais a \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T) e \operatorname{dim}(\operatorname{ker} T), respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá a matriz de uma transformação linear T (de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3):
O que se pede: identificar se T é injetora, sobrejetora ou ambos. Informações úteis que já podemos extrair do enunciado:
O domínio de T é \mathbb{R}^2, portanto \dim(\text{dom})=2.
O contradomínio é \mathbb{R}^3, portanto \dim(\text{codom})=3.
Vamos usar os fatos sugeridos: \operatorname{dim}(\operatorname{Im}T)=\operatorname{posto}(T) e \operatorname{dim}(\ker T)=\operatorname{nulidade}(T).]
Passo 2
Relembrando conceitos (comecinho de aula curta e direta):
T é injetora se e só se \ker T=\{0\}. Isso significa que a nulidade é 0.
T é sobrejetora se e só se \operatorname{Im}T= contradomínio. Para matrizes isso equivale a \operatorname{posto}(T)=\dim(\text{codom}).
Teorema fundamental (posto-nulidade): \dim(\text{dom})=\operatorname{posto}(T)+\operatorname{nulidade}(T).
Aqui \dim(\text{dom})=2, logo \operatorname{posto}(T)+\operatorname{nulidade}(T)=2. Vamos calcular \operatorname{posto}(T).
Passo 3
Calcular o posto: olhe para as colunas da matriz (são os vetores geradores da imagem):
Nulidade zero significa \ker T=\{0\}, portanto T é injetora. Expliquei o porquê: se T(x)=T(y) então T(x-y)=0 e x-y\in\ker T; com \ker T=\{0\} segue x-y=0, logo x=y.
Passo 6
Verificar sobrejetividade: o contradomínio tem dimensão 3. Como \operatorname{dim}(\operatorname{Im}T)=\operatorname{posto}(T)=2 e 2<3, a imagem de T é um subespaço próprio de \mathbb{R}^3, não todo \mathbb{R}^3. Portanto T NÃO é sobrejetora. Intuição: com apenas duas colunas independentes não é possível gerar todos os vetores de \mathbb{R}^3.