Sejam as matrizes de transformação abaixo. Identifique se T é injetora, sobrejetora ou ambos.
\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]
Utilize o fato de que o posto e a nulidade de
T são iguais a \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T) e \operatorname{dim}(\operatorname{ker} T), respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de uma transformação linear T (de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3):
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
O que se pede: identificar se T é injetora, sobrejetora ou ambos. Informações úteis que já podemos extrair do enunciado:
  • O domínio de T é \mathbb{R}^2, portanto \dim(\text{dom})=2.
  • O contradomínio é \mathbb{R}^3, portanto \dim(\text{codom})=3.
  • Vamos usar os fatos sugeridos: \operatorname{dim}(\operatorname{Im}T)=\operatorname{posto}(T) e \operatorname{dim}(\ker T)=\operatorname{nulidade}(T).]

Passo 2

Relembrando conceitos (comecinho de aula curta e direta):
  • T é injetora se e só se \ker T=\{0\}. Isso significa que a nulidade é 0.
  • T é sobrejetora se e só se \operatorname{Im}T= contradomínio. Para matrizes isso equivale a \operatorname{posto}(T)=\dim(\text{codom}).
  • Teorema fundamental (posto-nulidade): \dim(\text{dom})=\operatorname{posto}(T)+\operatorname{nulidade}(T).
Aqui \dim(\text{dom})=2, logo \operatorname{posto}(T)+\operatorname{nulidade}(T)=2. Vamos calcular \operatorname{posto}(T).

Passo 3

Calcular o posto: olhe para as colunas da matriz (são os vetores geradores da imagem):
v_1=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Para saber se as colunas são linearmente independentes, resolvemos a combinação linear nula
c_1 v_1 + c_2 v_2 = 0.
Escrevendo coordenada a coordenada isso dá o sistema
\begin{cases} 2c_1 - c_2 = 0,\\[4pt] 0\cdot c_1 + 1\cdot c_2 = 0,\\[4pt] -1\cdot c_1 + 1\cdot c_2 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da segunda equação vem c_2=0.
  • Substituindo em primeira equação: 2c_1 - 0 = 0 \Rightarrow c_1=0.
  • A terceira equação fica -c_1 + c_2 = 0 \Rightarrow -0 + 0 = 0, consistente.
Só existe a solução trivial c_1=c_2=0. Logo v_1 e v_2 são linearmente independentes. Como há duas colunas independentes, o posto da matriz é
\operatorname{posto}(T)=2.

Passo 5

Usar posto-nulidade para obter a nulidade:
\dim(\text{dom})=\operatorname{posto}(T)+\operatorname{nulidade}(T)
ou seja
2 = 2 + \operatorname{nulidade}(T) \quad\Rightarrow\quad \operatorname{nulidade}(T)=0.
Nulidade zero significa \ker T=\{0\}, portanto T é injetora. Expliquei o porquê: se T(x)=T(y) então T(x-y)=0 e x-y\in\ker T; com \ker T=\{0\} segue x-y=0, logo x=y.

Passo 6

Verificar sobrejetividade: o contradomínio tem dimensão 3. Como \operatorname{dim}(\operatorname{Im}T)=\operatorname{posto}(T)=2 e 2<3, a imagem de T é um subespaço próprio de \mathbb{R}^3, não todo \mathbb{R}^3. Portanto T NÃO é sobrejetora. Intuição: com apenas duas colunas independentes não é possível gerar todos os vetores de \mathbb{R}^3.

Resposta

T é injetora e não sobrejetora.

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