Use o teo. do núcleo e da imagem para decidir se verdadeiro ou falso.
O núcleo de uma transformação linear
é trivial (só contém
).
O núcleo de uma transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
- Afirmação: “O núcleo de uma transformação linear
é trivial (só contém ).” - Informação dada:
é linear, e . - Objetivo: usar o teorema do núcleo e da imagem (rank–nullity) para decidir a veracidade da afirmação.
Passo 2
Definições fundamentais (bem mastigadas):
- O núcleo de
é o conjunto . Se for trivial significa , isto é, . - A imagem de
é . A dimensão de é o posto (rank) de .
Passo 3
Enunciado do teorema do núcleo e da imagem (rank–nullity) e explicação das variáveis:
Aqui:
-
é a nulidade (nullity) — número de direções independentes que vão para . -
é o posto (rank) — número de direções independentes alcançadas no espaço de chegada. - A soma das duas dimensões é igual à dimensão do domínio, que é
.
Passo 4
Usar a informação sobre o espaço de chegada:
Como
é subespaço de
, sua dimensão não pode exceder
. Ou seja,
Passo 5
Combinar o teorema com a desigualdade para obter uma cota para
:
A partir de
e de
, segue
Portanto
.
Passo 6
Conclusão lógica sobre a afirmação:
- Se
fosse trivial então . Mas do Passo 5 vimos que necessariamente . - Logo não é possível que
seja trivial. A afirmação é falsa.
Observação alternativa (intuitiva): núcleo trivial equivale a
injetiva; uma aplicação linear injetiva de
em
exigiria que o posto fosse
, o que é impossível porque o posto não pode passar de
.
Passo 7
Exemplo concreto para fixar a intuição (faça na prova se quiser um contraexemplo):
Considere a projeção canônica
dada por
Aqui
tem dimensão
e
que tem dimensão
(não trivial). Isso ilustra que, para mapas de
em
, o núcleo costuma (na verdade, necessariamente) ter dimensão pelo menos
.
Resposta
Falso.