Use o teo. do núcleo e da imagem para decidir se verdadeiro ou falso.
O núcleo de uma transformação linear T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é trivial (só contém \overrightarrow{0} ).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
  • Afirmação: “O núcleo de uma transformação linear T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é trivial (só contém \overrightarrow{0}).”
  • Informação dada: T é linear, \dim(\mathbb{R}^{5})=5 e \dim(\mathbb{R}^{3})=3.
  • Objetivo: usar o teorema do núcleo e da imagem (rank–nullity) para decidir a veracidade da afirmação.

Passo 2

Definições fundamentais (bem mastigadas):
  • O núcleo de T é o conjunto \ker T = \{v\in\mathbb{R}^{5}\mid T(v)=\overrightarrow{0}\}. Se \ker T for trivial significa \ker T=\{\overrightarrow{0}\}, isto é, \dim(\ker T)=0.
  • A imagem de T é \operatorname{im} T=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^{5}\}\subseteq\mathbb{R}^{3}. A dimensão de \operatorname{im} T é o posto (rank) de T.

Passo 3

Enunciado do teorema do núcleo e da imagem (rank–nullity) e explicação das variáveis:
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im} T)=\dim(\mathbb{R}^{5})=5.
Aqui:
  • \dim(\ker T) é a nulidade (nullity) — número de direções independentes que vão para \overrightarrow{0}.
  • \dim(\operatorname{im} T) é o posto (rank) — número de direções independentes alcançadas no espaço de chegada.
  • A soma das duas dimensões é igual à dimensão do domínio, que é 5.

Passo 4

Usar a informação sobre o espaço de chegada:
Como \operatorname{im} T é subespaço de \mathbb{R}^{3}, sua dimensão não pode exceder 3. Ou seja,
\dim(\operatorname{im} T)\le 3.

Passo 5

Combinar o teorema com a desigualdade para obter uma cota para \dim(\ker T):
A partir de
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im} T)=5
e de \dim(\operatorname{im} T)\le 3, segue
\dim(\ker T)=5-\dim(\operatorname{im} T)\ge 5-3=2.
Portanto \dim(\ker T)\ge 2.

Passo 6

Conclusão lógica sobre a afirmação:
  • Se \ker T fosse trivial então \dim(\ker T)=0. Mas do Passo 5 vimos que necessariamente \dim(\ker T)\ge 2.
  • Logo não é possível que \ker T seja trivial. A afirmação é falsa.
Observação alternativa (intuitiva): núcleo trivial equivale a T injetiva; uma aplicação linear injetiva de \mathbb{R}^{5} em \mathbb{R}^{3} exigiria que o posto fosse 5, o que é impossível porque o posto não pode passar de 3.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a intuição (faça na prova se quiser um contraexemplo):
Considere a projeção canônica P:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3} dada por
P(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x_{1},x_{2},x_{3}).
Aqui \operatorname{im} P=\mathbb{R}^{3} tem dimensão 3 e
\ker P=\{(0,0,0,x_{4},x_{5})\mid x_{4},x_{5}\in\mathbb{R}\},
que tem dimensão 2 (não trivial). Isso ilustra que, para mapas de \mathbb{R}^{5} em \mathbb{R}^{3}, o núcleo costuma (na verdade, necessariamente) ter dimensão pelo menos 2.

Resposta

Falso.

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