1. Sejam Mostre que é derivável em se, e somente se, e . Construa contraexemplos removendo uma das hipóteses de cada vez.

Passo 1

O enunciado considera duas funções
Queremos provar que se, e somente se,
Para isso usaremos a definição de derivada (com limites laterais) e o fato de derivabilidade implicar continuidade.

Passo 2

(Prova da “só se”) Suponha que h seja diferenciável em p.
1. Como toda função diferenciável é contínua, temos
limxto ph(x)=h(p)
Mas limxto p^-h(x)=limxto p^-g(x)=g(p) e limxto p^+h(x)=limxto p^+f(x)=f(p). Logo
f(p)=h(p)=g(p)
2. A derivada em p pode ser obtida pelos limites laterais
h'+(p)=limxto p^+h(x)-h(p)x-p =limxto p^+f(x)-f(p)x-p=f'(p),
h'-(p)=limxto p^-h(x)-h(p)x-p =limxto p^-g(x)-g(p)x-p=g'(p)
Como h'+(p)=h'-(p), segue f'(p)=g'(p).

Passo 3

(Prova do “se”) Suponha agora que f(p)=g(p) e f'(p)=g'(p). Então para x>p vale
h(x)-h(p)x-p =f(x)-f(p)x-p,
cujo limite quando xto p^+ é f'(p). Para x<p
h(x)-h(p)x-p =g(x)-g(p)x-p,
cujo limite quando xto p^- é g'(p). Como f'(p)=g'(p), o limite
limxto ph(x)-h(p)x-p
existe e iguala-se a esse valor comum. Logo h é diferenciável em p.

Passo 4

(Contraexemplo sem
e
Aqui . Observa-se que não é contínua em , logo não é diferenciável, mostrando que a condição é necessária.

Passo 5

(Contraexemplo sem
e
Aqui . Embora seja contínua em , ela tem “canto” aí e não admite derivada em . Esse exemplo mostra que também é condição indispensável para a diferenciabilidade de .

Resposta

Mostrou-se que h é diferenciável em p exatamente quando
f(p)=g(p) e f'(p)=g'(p),
e deram-se contraexemplos ao remover cada hipótese.

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