- Sejam Mostre que
é derivável em
se, e somente se,
e
. Construa contraexemplos removendo uma das hipóteses de cada vez.
Passo 1
O enunciado considera duas funções
Queremos provar que se, e somente se,
Para isso usaremos a definição de derivada (com limites laterais) e o fato de derivabilidade implicar continuidade.
Passo 2
(Prova da “só se”) Suponha que
seja diferenciável em
.
. Como toda função diferenciável é contínua, temos
Mas
e
. Logo
Como
, segue
.
Passo 3
(Prova do “se”) Suponha agora que
e
. Então para
vale
cujo limite quando
é
. Para
cujo limite quando
é
. Como
, o limite
existe e iguala-se a esse valor comum. Logo
é diferenciável em
.
Passo 4
(Contraexemplo sem
e
Aqui . Observa-se que
não é contínua em
, logo não é diferenciável, mostrando que a condição
é necessária.
Passo 5
(Contraexemplo sem
e
Aqui . Embora
seja contínua em
, ela tem “canto” aí e não admite derivada em
. Esse exemplo mostra que
também é condição indispensável para a diferenciabilidade de
.
Resposta
Mostrou-se que
é diferenciável em
exatamente quando
e deram-se contraexemplos ao remover cada hipótese.