Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função
:
em que
e
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A função é
. - O domínio é o retângulo fechado
. - O que se pede: encontrar os valores máximo e mínimo de
em e os pontos onde esses valores ocorrem.
Passo 2
Importante: como
é compacto (fechado e limitado) e
é contínua, o Teorema do Valor Extremo garante que
atinge seu máximo e mínimo em
. Então basta procurar:
- pontos críticos no interior do retângulo (onde o gradiente se anula),
- extremos nas arestas do retângulo (reduzindo o problema a funções de uma variável),
- e comparar todos os valores obtidos.
Vou explicar cada ideia quando usar.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (para achar pontos críticos no interior).
- A derivada parcial em relação a
é
Explicação breve: derivada de
é
;
é constante em
.
- A derivada parcial em relação a
é
Derivada de
em
é
.
Pontos críticos do interior resolvem o sistema
com
e
(estritamente interior).
-
em ocorre em e . -
em ocorre em ; mas para o interior só vale .
Logo os pontos críticos interiores são
Avalio
nesses pontos:
Então, até agora, o melhor candidato a máximo é
em
; o outro crítico dá
.
Passo 4
Agora verifico as arestas (quatro bordas do retângulo). Em cada aresta fixo uma variável e considero a função de uma variável; como são intervalos compactos, os extremos existem e podem ser obtidos por observação das funções trigonométricas.
Aresta 1:
.
Sabendo que
, temos
.
- Máximo em
com valor . - Mínimo em
e com valor .
Aresta 2:
.
mesma análise da aresta 1:
- Máximo em
com valor . - Mínimo em
com valor .
Aresta 3:
.
Como
, segue
.
- Máximo quando
, ou seja , com valor . - Mínimo quando
, ou seja , com valor .
Aresta 4:
.
igual à aresta 3:
- Máximo em
com valor . - Mínimo em
com valor .
Passo 5
Verificação dos cantos (também cobertos acima, mas convém listar):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Os cantos não superam o valornem ficam abaixo de .
Passo 6
Comparando todos os valores obtidos:
- Valores máximos encontrados:
(no ponto interior ) e valores menores ou iguais a nas demais arestas/cantos. Logo o máximo global é e ocorre somente em . - Valores mínimos encontrados: o menor valor foi
, obtido nas arestas e quando ; ou seja nos pontos e . Não há valor menor que em nenhum ponto do domínio.
Portanto concluímos quais são máximo e mínimo e onde ocorrem.