Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função f : A \rightarrow \mathbb{R} em que
f(x, y)=\operatorname{sen}(x)-\cos (y) e A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{;} 0 \leq x \leq 2 \pi\right. e \left.0 \leq y \leq 2 \pi\right\}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função é f(x,y)=\operatorname{sen}(x)-\cos(y).
  • O domínio é o retângulo fechado A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le 2\pi,\;0\le y\le 2\pi\}.
  • O que se pede: encontrar os valores máximo e mínimo de f em A e os pontos onde esses valores ocorrem.

Passo 2

Importante: como A é compacto (fechado e limitado) e f é contínua, o Teorema do Valor Extremo garante que f atinge seu máximo e mínimo em A. Então basta procurar:
  1. pontos críticos no interior do retângulo (onde o gradiente se anula),
  2. extremos nas arestas do retângulo (reduzindo o problema a funções de uma variável),
  3. e comparar todos os valores obtidos.
Vou explicar cada ideia quando usar.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (para achar pontos críticos no interior).
  • A derivada parcial em relação a x é
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{sen}x-\cos y\bigr)=\cos x.
Explicação breve: derivada de \operatorname{sen}x é \cos x; -\cos y é constante em x.
  • A derivada parcial em relação a y é
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\operatorname{sen}x-\cos y\bigr)=\sin y.
Derivada de -\cos y em y é \sin y.
Pontos críticos do interior resolvem o sistema
\cos x=0,\qquad \sin y=0,
com 0<x<2\pi e 0<y<2\pi (estritamente interior).
  • \cos x=0 em [0,2\pi] ocorre em x=\tfrac{\pi}{2} e x=\tfrac{3\pi}{2}.
  • \sin y=0 em [0,2\pi] ocorre em y=0,\pi,2\pi; mas para o interior só vale y=\pi.
Logo os pontos críticos interiores são
\Bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\Bigr)\quad\text{e}\quad\Bigl(\tfrac{3\pi}{2},\pi\Bigr).
Avalio f nesses pontos:
f\Bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\Bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\cos(\pi)=1-(-1)=2,
f\Bigl(\tfrac{3\pi}{2},\pi\Bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)-\cos(\pi)=-1-(-1)=0.
Então, até agora, o melhor candidato a máximo é 2 em \bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr); o outro crítico dá 0.

Passo 4

Agora verifico as arestas (quatro bordas do retângulo). Em cada aresta fixo uma variável e considero a função de uma variável; como são intervalos compactos, os extremos existem e podem ser obtidos por observação das funções trigonométricas.
Aresta 1: x=0,\; y\in[0,2\pi].
g_1(y)=f(0,y)=\operatorname{sen}0-\cos y= -\cos y.
Sabendo que \cos y\in[-1,1], temos -\cos y\in[-1,1].
  • Máximo em y=\pi com valor 1.
  • Mínimo em y=0 e y=2\pi com valor -1.
Aresta 2: x=2\pi,\; y\in[0,2\pi].
g_2(y)=f(2\pi,y)=\operatorname{sen}2\pi-\cos y=-\cos y,
mesma análise da aresta 1:
  • Máximo em y=\pi com valor 1.
  • Mínimo em y=0,2\pi com valor -1.
Aresta 3: y=0,\; x\in[0,2\pi].
h_1(x)=f(x,0)=\operatorname{sen}x-\cos0=\operatorname{sen}x-1.
Como \operatorname{sen}x\in[-1,1], segue \operatorname{sen}x-1\in[-2,0].
  • Máximo quando \operatorname{sen}x=1, ou seja x=\tfrac{\pi}{2}, com valor 0.
  • Mínimo quando \operatorname{sen}x=-1, ou seja x=\tfrac{3\pi}{2}, com valor -2.
Aresta 4: y=2\pi,\; x\in[0,2\pi].
h_2(x)=f(x,2\pi)=\operatorname{sen}x-\cos(2\pi)=\operatorname{sen}x-1,
igual à aresta 3:
  • Máximo em x=\tfrac{\pi}{2} com valor 0.
  • Mínimo em x=\tfrac{3\pi}{2} com valor -2.

Passo 5

Verificação dos cantos (também cobertos acima, mas convém listar):
  • f(0,0)= -\cos0 = -1.
  • f(0,2\pi)=-1.
  • f(0,\pi)=1.
  • f(2\pi,0)=-1.
  • f(2\pi,\pi)=1.
  • f(2\pi,2\pi)=-1.
    Os cantos não superam o valor 2 nem ficam abaixo de -2.

Passo 6

Comparando todos os valores obtidos:
  • Valores máximos encontrados: 2 (no ponto interior \bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr)) e valores menores ou iguais a 1 nas demais arestas/cantos. Logo o máximo global é 2 e ocorre somente em \bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr).
  • Valores mínimos encontrados: o menor valor foi -2, obtido nas arestas y=0 e y=2\pi quando x=\tfrac{3\pi}{2}; ou seja nos pontos \bigl(\tfrac{3\pi}{2},0\bigr) e \bigl(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\bigr). Não há valor menor que -2 em nenhum ponto do domínio.
Portanto concluímos quais são máximo e mínimo e onde ocorrem.

Resposta

f_{\max}=2 em \bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr)
f_{\min}=-2 em \bigl(\tfrac{3\pi}{2},0\bigr) e \bigl(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\bigr)

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