(a) Sejam
ef
um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que
quaisquer que sejam os inteiros distintos be c.
(b) Seja f um polinômio com coeficientes inteiros. É possível que para cada inteiro positivo
, o dígito das unidades de
seja o
-ésimo dígito da expansão decimal de
?
(b) Seja f um polinômio com coeficientes inteiros. É possível que para cada inteiro positivo
Passo 1
O enunciado trata de um polinómio
com
.
(a) Pede para provar que, para quaisquer inteiros distintos , vale
(a) Pede para provar que, para quaisquer inteiros distintos
(b) Pergunta se é possível um polinómio inteiro cujo dígito das unidades de
seja exatamente o
-ésimo dígito decimal de
.
Passo 2
Vamos mostrar que, para todo inteiro
,
é múltiplo de
. Pela fatoração conhecida, temos
logo
.
Passo 3
Como cada termo
é múltiplo de
, qualquer combinação inteira também é. Assim,
é múltiplo de
. Em outras palavras,
o que prova o item (a).
Passo 4
Para o item (b), escolha
e
. Do resultado acima segue
Isto significa que o dígito das unidades de
se repete com período divisor de
.
Passo 5
Mas a expansão decimal de
é não periódica (pois
é irracional). Logo não existe sequência periódica de período finito que coincida, termo a termo, com todos os dígitos de
. Portanto não há polinómio inteiro que faça o que se pede em (b).
Resposta
(a) Prova-se usando que
é múltiplo de
, daí
.
(b) Não existe tal polinómio, pois forçaria uma periodicidade de período 10 nos dígitos das unidades, em contraste com a não periodicidade dos dígitos de .
(b) Não existe tal polinómio, pois forçaria uma periodicidade de período 10 nos dígitos das unidades, em contraste com a não periodicidade dos dígitos de