(a) Sejam n \geqslant 1 ef (X)=a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+a_{0} um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que f(b) \equiv f\text{(c)}(\bmod b-c) quaisquer que sejam os inteiros distintos be c.
(b) Seja f um polinômio com coeficientes inteiros. É possível que para cada inteiro positivo k, o dígito das unidades de f(k) seja o k-ésimo dígito da expansão decimal de \sqrt{2} ?

Passo 1

O enunciado trata de um polinómio
f(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_{1}X+a_{0}
com a_{i}\in\mathbb{Z}.
(a) Pede para provar que, para quaisquer inteiros distintos b,c, vale
f(b)\equiv f\text{(c)}\pmod{b-c}.
(b) Pergunta se é possível um polinómio inteiro cujo dígito das unidades de f(k) seja exatamente o k-ésimo dígito decimal de \sqrt{2}.

Passo 2

Vamos mostrar que, para todo inteiro i\ge1,
b^i - c^i
é múltiplo de b-c. Pela fatoração conhecida, temos
b^i - c^i = (b-c)\bigl(b^{i-1}+b^{i-2}c+\cdots+bc^{i-2}+c^{i-1}\bigr),
logo b-c\mid (b^i-c^i).

Passo 3

Como cada termo b^i-c^i é múltiplo de b-c, qualquer combinação inteira também é. Assim,
f(b)-f\text{(c)} =\sum_{i=0}^{n}a_i\bigl(b^i-c^i\bigr)
é múltiplo de b-c. Em outras palavras,
f(b)\equiv f\text{(c)}\pmod{b-c},
o que prova o item (a).

Passo 4

Para o item (b), escolha b=k+10 e c=k. Do resultado acima segue
f(k+10)\equiv f(k)\pmod{10}.
Isto significa que o dígito das unidades de f(k) se repete com período divisor de 10.

Passo 5

Mas a expansão decimal de \sqrt{2} é não periódica (pois \sqrt{2} é irracional). Logo não existe sequência periódica de período finito que coincida, termo a termo, com todos os dígitos de \sqrt{2}. Portanto não há polinómio inteiro que faça o que se pede em (b).

Resposta

(a) Prova-se usando que b^i-c^i é múltiplo de b-c, daí f(b)\equiv f\text{(c)}\pmod{b-c}.
(b) Não existe tal polinómio, pois forçaria uma periodicidade de período 10 nos dígitos das unidades, em contraste com a não periodicidade dos dígitos de \sqrt{2}.

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