Determine o menor inteiro positivo m tal que m^{2}+7 m+89 é divisível por 77.

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro positivo m tal que
m^2 + 7m + 89
seja divisível por 77. Como 77=7\cdot11, vamos impor a divisibilidade por 7 e por 11 separadamente e depois usar o Teorema Chinês dos Restos.

Passo 2

Condição módulo 7:
m^2 + 7m + 89 \equiv m^2 + 5 \equiv 0 \pmod{7}
porque 89\equiv5\pmod{7} e 7m\equiv0\pmod{7}. Logo
m^2 \equiv 2 \pmod{7},
cuja solução é
m\equiv 3 \pmod{7} \quad\text{ou}\quad m\equiv 4 \pmod{7}.

Passo 3

Condição módulo 11:
m^2 + 7m + 89 \equiv m^2 + 7m + 1 \equiv 0 \pmod{11}
pois 89\equiv1\pmod{11}. A discriminante é
\Delta = 7^2 - 4\cdot1\cdot1 = 49 - 4 = 45 \equiv 1 \pmod{11},
cuja raiz é \pm1. Assim
m \equiv \frac{-7 \pm 1}{2} \equiv 8 \pmod{11} \quad\text{ou}\quad m \equiv 7 \pmod{11}.

Passo 4

Agora combinamos as quatro possibilidades via CRT:
Para cada par (r_7,r_{11})\in\{3,4\}\times\{7,8\} resolvemos
m \equiv r_7 \pmod{7},\quad m \equiv r_{11}\pmod{11}.
Fazendo m=7k+r_7 e ajustando em \bmod\,11, obtemos
(r_7,r_{11})=(3,7)\implies m=73, \quad (3,8)\implies m=52, \quad (4,7)\implies m=18, \quad (4,8)\implies m=74.

Passo 5

Desses valores, o menor inteiro positivo é 18.

Resposta

18

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