Sejam
e
. Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com uma prova ou um contraexemplo:
( 1,0 pt.) Se
, então
.
( 1,0 pt.) Se
Passo 1
O enunciado quer mostrar que para quaisquer naturais
com
e
vale a identidade
Se
, então
O conteúdo principal aqui é manipular coeficientes binomiais usando identidades clássicas.
Passo 2
Para provar a igualdade, vamos usar a conhecida relação
Isso é uma consequência direta de
com
.
Passo 3
Agora calculamos o lado direito:
Aplicando a identidade do passo anterior:
que é exatamente o lado esquerdo da igualdade.
Passo 4
Concluímos que a igualdade
é verdadeira para todos
em que a expressão binomial faz sentido (e.g.
).
Resposta
Verdadeira. A identidade segue diretamente de
.