Sejam n, m in N backslash0 e 0 <= k <= m. Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com uma prova ou um contraexemplo:
( 1,0 pt.) Se n >= m-1, então nbinomn-1m=mbinomnm+1+binomnm+1.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que para quaisquer naturais n,m com n>= m-1 e 0<= k<= m vale a identidade
Se n>= m-1, então
nbinomn-1m ,=, mbinomnm+1 + binomnm+1
O conteúdo principal aqui é manipular coeficientes binomiais usando identidades clássicas.

Passo 2

Para provar a igualdade, vamos usar a conhecida relação
binomnm+1 = nm+1binomn-1m
Isso é uma consequência direta de binomnr=nrbinomn-1r-1 com r=m+1.

Passo 3

Agora calculamos o lado direito:
mbinomnm+1 + binomnm+1 = (m+1)binomnm+1
Aplicando a identidade do passo anterior:
(m+1)binomnm+1 = (m+1)cdotnm+1binomn-1m = nbinomn-1m,
que é exatamente o lado esquerdo da igualdade.

Passo 4

Concluímos que a igualdade
nbinomn-1m = mbinomnm+1 + binomnm+1
é verdadeira para todos n,m em que a expressão binomial faz sentido (e.g. n>= m-1).

Resposta

Verdadeira. A identidade segue diretamente de binomnm+1=tfracnm+1binomn-1m.

Exercícios relacionados