Lembrete importante (definição de limite de sequência, no estilo \varepsilon-N): dizer que \;a_n \rightarrow 3 significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N_1\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N_1,\;|a_n-3|<\varepsilon.
De forma análoga, \;b_n \rightarrow 2 significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N_2\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N_2,\;|b_n-2|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é um número positivo pequeno que representa a tolerância (quão perto queremos estar do valor-limite) e N_1,N_2 são índices a partir dos quais as desigualdades valem.
Passo 3
Intuição do que vamos provar: queremos mostrar que a soma das duas sequências converge para a soma dos limites. Ou seja, espera-se que
\lim (a_n+b_n)=3+2=5.
Para provar isso com rigor usaremos a definição \varepsilon-N e a desigualdade triangular básica
|x+y|\le |x|+|y|.
Vou fazer o passo a passo do argumento formal.
Passo 4
Prova formal (usando \varepsilon-N).
Seja fixo um \varepsilon>0. Como \;a_n\rightarrow 3, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_1,
|a_n-3|<\frac{\varepsilon}{2}.
Como \;b_n\rightarrow 2, existe N_2\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_2,
|b_n-2|<\frac{\varepsilon}{2}.
Escolha N=\max\{N_1,N_2\}. Então, para todo n\ge N temos simultaneamente |a_n-3|<\frac{\varepsilon}{2} e |b_n-2|<\frac{\varepsilon}{2}.
Passo 5
Agora aplicamos a desigualdade triangular para estimar a distância entre a_n+b_n e 5:
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para n\ge N, \big|(a_n+b_n)-5\big|<\varepsilon. Isso prova que
\lim (a_n+b_n)=5.
Passo 6
Comentário intuitivo e exemplo para fixar: a prova formal acima garante que, se cada sequência fica arbitrariamente próxima do seu limite a partir de algum índice, então a soma fica arbitrariamente próxima da soma dos limites. Exemplo concreto para visualizar: se a_n=3+\tfrac{1}{n} e b_n=2-\tfrac{1}{n^2}, então a_n\to 3, b_n\to 2 e a_n+b_n=5+\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n^2}\to 5. Dá pra ver numericamente que as diferenças vão para zero.