Sejam P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0 e Q(x)=bm x^m+bm-1 x^m-1+cdots+b1 x+b0 com an neq 0 e bm neq 0. Calcule os seguintes limites:
lim x -infty P(x)Q(x)

Passo 1

Temos dois polinômios gerais
P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{0}
Q(x)=b_{m}x^{m}+\cdots+b_{0},
o que cai na disciplina de limites envolvendo funções polinomiais. Para resolver precisamos usar o comportamento assintótico dos termos de maior grau quando x→-∞.

Passo 2

Para x→-∞, os termos de menor grau são desprezíveis frente aos de maior grau. Assim podemos escrever de forma assintótica:
P(x)Q(x)simanx^nbmx^m=anbm,x^n-m
Essa simplificação baseia-se em que os menores graus fazem contribuição relativa →0.

Passo 3

Se n<m, então n-m é negativo, e x^n-mto0 quando x→-∞. Logo
limxto-inftyP(x)Q(x)=0

Passo 4

Se n=m, então n-m=0 e temos
limxto-inftyP(x)Q(x)=anbmcdotlimxto-inftyx^0=anbm

Passo 5

Se n>m, defina k=n-m>0. Então
P(x)Q(x)simanbm,x^k
Agora x^{k}\to+\infty se k é par, e x^{k}\to-\infty se k é ímpar. Multiplicando por an/bm determina o sinal do limite:
  • Se k par e a_{n}/b_{m}>0 →+∞
  • Se k par e a_{n}/b_{m}<0 →-∞
  • Se k ímpar e a_{n}/b_{m}>0 →-∞
  • Se k ímpar e a_{n}/b_{m}<0 →+∞

Resposta

limxto-inftyP(x)Q(x)= 0,&nm,;n-m par e dfracanbm>0, -infty,&n>m,;n-m par e dfracanbm<0, -infty,&n>m,;n-m ímpar e dfracanbm>0, +infty,&n>m,;n-m ímpar e dfracanbm<0 íí

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