Sejam
e
e
. Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Temos dois polinômios gerais
P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{0}
Q(x)=b_{m}x^{m}+\cdots+b_{0},
o que cai na disciplina de limites envolvendo funções polinomiais. Para resolver precisamos usar o comportamento assintótico dos termos de maior grau quando x→-∞.
P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{0}
Q(x)=b_{m}x^{m}+\cdots+b_{0},
o que cai na disciplina de limites envolvendo funções polinomiais. Para resolver precisamos usar o comportamento assintótico dos termos de maior grau quando x→-∞.
Passo 2
Para x→-∞, os termos de menor grau são desprezíveis frente aos de maior grau. Assim podemos escrever de forma assintótica:
Essa simplificação baseia-se em que os menores graus fazem contribuição relativa →0.
Passo 3
Se n<m, então n-m é negativo, e
quando x→-∞. Logo
Passo 4
Se n=m, então n-m=0 e temos
Passo 5
Se n>m, defina k=n-m>0. Então
Agora x^{k}\to+\infty se k é par, e x^{k}\to-\infty se k é ímpar. Multiplicando por
determina o sinal do limite:
- Se k par e a_{n}/b_{m}>0 →+∞
- Se k par e a_{n}/b_{m}<0 →-∞
- Se k ímpar e a_{n}/b_{m}>0 →-∞
- Se k ímpar e a_{n}/b_{m}<0 →+∞