Determine o domínio máximo da função:
f(x)=log 2(-x^2+4x-1)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função f(x)=log2l(( -x^2+4)/(x-1)r). Como envolve logaritmo, precisamos que o argumento seja estritamente positivo e também que o denominador não se anule. O conteúdo é domínio de logaritmo e resolução de inequação racional.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as condições:
  • Denominador diferente de zero: x-1neq0, ou seja, xneq1.
  • Argumento do logaritmo maior que zero: -x^2+4x-1>0

Passo 3

Em seguida, fatoramos o numerador e analisamos os sinais:
  • Numerador: -x^2+4=4-x^2=(2-x)(2+x)
  • A inequação passa a ser: (2-x)(2+x)x-1>0
Os pontos críticos são as raízes do numerador x=-2,2 e a raiz do denominador x=1. Montamos o quadro de sinais nos intervalos:
Intervalos: ( -infty,-2), (-2,1), (1,2), (2,infty).
  • Em ( -infty,-2): teste com x=-3 dá sinal positivo.
  • Em (-2,1): teste com x=0 dá sinal negativo.
  • Em (1,2): teste com x=1.5 dá sinal positivo.
  • Em (2,infty): teste com x=3 dá sinal negativo.

Passo 4

Da análise, a fração é positiva apenas em ( -infty,-2) e (1,2). Como nos pontos x=-2,2 o numerador zera (argumento ficaria zero) e em x=1 o denominador zera, todos esses pontos não pertencem ao domínio. Portanto, o domínio é:
O domínio máximo de f(x) é (-infty, -2) cup (1, 2).

Resposta

(-infty,-2)cup(1,2)

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