Sejam p e q números primos maiores que 3. Provar que p^2-q^2 é divisível por 24 .

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados p e q primos maiores que 3, o número
p^2-q^2
é divisível por 24.
Conteúdo envolvido: aritmética modular, especificamente congruências módulo 8 e módulo 3, e depois aplicação do Teorema Chinês dos Restos para módulo 24.

Passo 2

Mostramos que qualquer primo p>3 é ímpar, logo pode ser escrito como
p = 2k + 1
para algum inteiro k. Então
p^2 = (2k+1)^2 = 4k(k+1) + 1
Como k(k+1) é sempre par, 4k(k+1) é múltiplo de 8. Concluímos que
p^2equiv 1 mod 8

Passo 3

Como p é primo maior que 3, não é múltiplo de 3, então p deixa resto 1 ou 2 em divisão por 3, isto é,
pequiv pm1 mod 3
Elevando ao quadrado, obtemos
p^2equiv 1 mod 3

Passo 4

Os módulos 8 e 3 são coprimos, logo a combinação das duas congruências pelo Teorema Chinês dos Restos dá
p^2equiv 1 mod 24
O mesmo raciocínio vale para q, de modo que
q^2equiv 1 mod 24

Passo 5

Subtraindo as duas congruências, vem
p^2-q^2equiv 1 - 1 equiv 0 mod 24,
o que significa exatamente que p^2-q^2 é divisível por 24.

Resposta

Está provado que p^2-q^2 é divisível por 24.

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