Sejam
e
números primos maiores que 3. Provar que
é divisível por 24 .
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados
e
primos maiores que 3, o número
é divisível por 24.
Conteúdo envolvido: aritmética modular, especificamente congruências módulo 8 e módulo 3, e depois aplicação do Teorema Chinês dos Restos para módulo 24.
Conteúdo envolvido: aritmética modular, especificamente congruências módulo 8 e módulo 3, e depois aplicação do Teorema Chinês dos Restos para módulo 24.
Passo 2
Mostramos que qualquer primo
é ímpar, logo pode ser escrito como
para algum inteiro
. Então
Como
é sempre par,
é múltiplo de 8. Concluímos que
Passo 3
Como
é primo maior que 3, não é múltiplo de 3, então
deixa resto 1 ou 2 em divisão por 3, isto é,
Elevando ao quadrado, obtemos
Passo 4
Os módulos 8 e 3 são coprimos, logo a combinação das duas congruências pelo Teorema Chinês dos Restos dá
O mesmo raciocínio vale para
, de modo que
Passo 5
Subtraindo as duas congruências, vem
o que significa exatamente que
é divisível por 24.
Resposta
Está provado que
é divisível por 24.