Dado ln 2=0,6931, use a série obtida no Exercício 7 para encontrar ln 3 com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede o valor de ln3 com precisão de quatro casas decimais, sabendo que ln2=0,6931. O conteúdo é a série de Mercator para ln(1+x) e a propriedade dos logaritmos
ln(ab)=ln a + ln b

Passo 2

Escrevemos
ln3 = ln2 + ln!l(tfrac32r)
e notamos que
ln!l(tfrac32r)=lnl(1+tfrac12r)
pode ser expandido na série de Mercator
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n+1,x^nn, |x|<=1,;xneq-1,
com x=tfrac12.

Passo 3

Calculamos os termos
tn = (-1)^n+1,(1/2)^nn
até que lvert tn+1rvert<10^-5, garantindo erro menor que 0,00001. Os primeiros termos são:
t1&=tfrac12=0,5000000, t2&=-tfrac(1/2)^22=-0,1250000, t3&=+tfrac(1/2)^33=0,0416667, t4&=-0,0156250,;t5=0,0062500,;t6=-0,0026042, t7&=0,0011161,;t8=-0,0004883,;t9=0,0002170, t10&=-0,0000977,;t11=0,0000444,;t12=-0,0000203, t13&=0,0000094;(<10^-5)
Somando de t1 a t13 obtemos
lnl(tfrac32r)approx0,4054681

Passo 4

Agora
ln3 = ln2 + lnl(tfrac32r)approx0,6931 + 0,4054681 = 1,0985681
Arredondando para quatro casas decimais,
ln3approx1,0986

Resposta

ln3approx1,0986

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