Sejam
Existe
seja contínua em
? Se sim, determine-o.
Passo 1
O que o enunciado pede: existe
tal que
seja contínua em
? Se sim, determine-o.
Informações dadas (copiadas do enunciado): é definida por
para
,
para
,
para
.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagar): uma função
é contínua em
se e somente se os três valores abaixo existem e são iguais:
,
e
. Em símbolos:
Isto significa que, ao nos aproximarmos de
tanto pela esquerda quanto pela direita, os valores de
devem convergir ao mesmo número, que tem de ser exatamente o valor
dado pela definição da função.
Passo 3
Calcular
: como a definição para
vale em
, pegamos essa fórmula. Assim
Explicando: basta substituir
na expressão
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita
: para
vale
. A função
é contínua, logo
Multiplicando por
(constante), obtemos
Observação didática: isto vale para qualquer
; o fator
apenas escala a função, mas se a parte trigonométrica tende a zero, o produto tende a zero.
Passo 5
Calcular o limite pela esquerda
: para
vale
, que é contínua; portanto
Comparando os três valores que devem ser iguais para continuidade:
Para ser contínua, precisaríamos ter
. Mas
, então
. Logo não é possível igualar o limite pela direita a
ajustando um
real.
Passo 6
Conclusão final e interpretação: como
independentemente de
e
, que é diferente de zero, não existe
que torne
contínua em
. Respire fundo: a razão é simples — o ramo à direita tende a zero em
, enquanto o ramo do meio e o valor em
são
, não zero.
Resposta
Não existe
tal que
seja contínua em
.