Sejam a\) e \(b\) números reais e definida \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por \[\begin{cases}x^{2}+a \cos (\pi x), & x<-1 \\\\ 1+e^{x}, & -1 \leq x \leq 1, \\\ b \operatorname{sen}(\pi x), & x>1\end{cases}
Existe b\] de forma que \(f seja contínua em x=1 ? Se sim, determine-o.

Passo 1

O que o enunciado pede: existe b\in\mathbb{R} tal que f seja contínua em x=1? Se sim, determine-o.
Informações dadas (copiadas do enunciado): f é definida por
f(x)=x^{2}+a\cos(\pi x) para x<-1,
f(x)=1+e^{x} para -1\le x\le 1,
f(x)=b\operatorname{sen}(\pi x) para x>1.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar): uma função f é contínua em x=1 se e somente se os três valores abaixo existem e são iguais: \lim_{x\to1^-}f(x), \lim_{x\to1^+}f(x) e f(1). Em símbolos:
f \text{ contínua em } x=1 \iff \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).í
Isto significa que, ao nos aproximarmos de 1 tanto pela esquerda quanto pela direita, os valores de f(x) devem convergir ao mesmo número, que tem de ser exatamente o valor f(1) dado pela definição da função.

Passo 3

Calcular f(1): como a definição para -1\le x\le1 vale em x=1, pegamos essa fórmula. Assim
f(1)=1+e^{1}=1+e.
Explicando: basta substituir x=1 na expressão 1+e^{x}.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to1^+}f(x): para x>1 vale f(x)=b\operatorname{sen}(\pi x). A função \operatorname{sen}(\pi x) é contínua, logo
\lim_{x\to1^+}\operatorname{sen}(\pi x)=\operatorname{sen}(\pi\cdot 1)=\operatorname{sen}(\pi)=0.
Multiplicando por b (constante), obtemos
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}b\operatorname{sen}(\pi x)=b\cdot 0=0.
Observação didática: isto vale para qualquer b\in\mathbb{R}; o fator b apenas escala a função, mas se a parte trigonométrica tende a zero, o produto tende a zero.

Passo 5

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to1^-}f(x): para -1\le x\le1 vale f(x)=1+e^{x}, que é contínua; portanto
\lim_{x\to1^-}f(x)=1+e^{1}=1+e.
Comparando os três valores que devem ser iguais para continuidade:
\lim_{x\to1^-}f(x)=1+e,\qquad f(1)=1+e,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=0.
Para ser contínua, precisaríamos ter 1+e=0. Mas e>0, então 1+e\neq 0. Logo não é possível igualar o limite pela direita a 1+e ajustando um b real.

Passo 6

Conclusão final e interpretação: como \lim_{x\to1^+}f(x)=0 independentemente de b e \lim_{x\to1^-}f(x)=1+e, que é diferente de zero, não existe b\in\mathbb{R} que torne f contínua em x=1. Respire fundo: a razão é simples — o ramo à direita tende a zero em x=1, enquanto o ramo do meio e o valor em 1 são 1+e, não zero.

Resposta

Não existe b\in\mathbb{R} tal que f seja contínua em x=1.

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