Sejam
e
números reais distintos e não nulos tais que
. Sobre o valor de
, podemos afirmar que
(a) éum número positivo.
(b) é um número par.
(c) possui três divisores positivos.
(d) possui quatro divisores inteiros.
(a) éum número positivo.
(b) é um número par.
(c) possui três divisores positivos.
(d) possui quatro divisores inteiros.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números reais distintos e não nulos e que
Pede-se: sobre o valor de
(ou seja, sobre
), qual das alternativas abaixo é verdadeira?
(a) é um número positivo.
(b) é um número par.
(c) possui três divisores positivos.
(d) possui quatro divisores inteiros.
Lista das informações relevantes dadas:
(a) é um número positivo.
(b) é um número par.
(c) possui três divisores positivos.
(d) possui quatro divisores inteiros.
Lista das informações relevantes dadas:
-
e são reais, distintos e não nulos. - A equação relacional entre
e é . - Precisamos inferir propriedades do número
.
Passo 2
Primeira simplificação algébrica: multiplico a igualdade dada por
(permitido porque
e
são não nulos) para eliminar denominadores. Fazendo isso obtemos
Explicação didática: multiplicar por
é uma técnica padrão para limpar frações que têm denominadores envolvendo as variáveis; como
e
não são zero, não estamos perdendo nem ganhando soluções inválidas.
Passo 3
Uso a identidade da soma de cubos para reescrever
. A identidade é
Aqui
é a soma que chamarei de
e
chamo de
. Aplicando a identidade à equação do Passo 2:
Em notação
isso fica
Passo 4
Reorganizo para isolar
em função de
. Tirando os termos com
para um lado:
Logo
Agora fatoramos
(soma de cubos):
. Substituindo,
Portanto obtivemos uma expressão simples:
Comentário didático: passar para as variáveis simétricas
e
é uma técnica muito poderosa quando a equação é simétrica em
e
. Aqui nos dá uma relação direta entre soma e produto das raízes.
Passo 5
Agora usamos que
e
são raízes do polinômio quadrático
Para que
e
sejam números reais, o discriminante desse quadrático deve ser não negativo:
Substituo a expressão de
do Passo 4:
Faço as contas com calma:
Coloco tudo sobre denominador
:
Reescrevo completando quadrado no numerador:
Passo 6
Interpretação do discriminante:
. Como
para todo
, isso implica
sempre. Para que
(condição de raízes reais) tenhamos coincidência de sinal. A única possibilidade é
, que ocorre quando
, ou seja:
Isso significa que a única soma
compatível com a igualdade original e com a condição de
reais é
. Observação importante: quando
temos
, portanto as raízes do polinômio
são iguais (raízes duplas), o que dá
(verificação: com
e fórmula de
,
, então as raízes da equação
são
dupla). Isso contradiz a hipótese do enunciado de que
e
são distintos. Portanto:
- Não existem pares de números reais distintos e não nulos
que satisfaçam a equação; a única possibilidade real (com não nulos) é . - Apesar da contradição com “distintos”, a equação força
sempre que consideramos soluções reais (mesmo que iguais).
Passo 7
Agora respondo as alternativas avaliando
.
- (a) “é um número positivo.” Para
isso é verdadeiro, pois . - (b) “é um número par.” Para
isso é verdadeiro, pois é divisível por . - (c) “possui três divisores positivos.” Os divisores positivos de
são , ou seja, quatro divisores positivos. Então (c) é falsa. - (d) “possui quatro divisores inteiros.” Se interpretarmos por “divisores inteiros” os divisores positivos inteiros, então
possui exatamente quatro divisores positivos ( ), logo (d) é verdadeira. (Se alguém contasse divisores inteiros incluindo negativos, haveria oito divisores inteiros, mas a alternativa normalmente refere-se aos divisores positivos.)
Resumo das verdades para
: (a) verdadeiro, (b) verdadeiro, (c) falso, (d) verdadeiro.
Passo 8
Conclusão final: a equação implica que
. Avaliando as alternativas, (a), (b) e (d) são verdadeiras (com a interpretação usual de divisores em (d) como positivos). Como a alternativa (d) é a que afirma o número exato de divisores positivos (quatro), e tratando o enunciado como o habitual em questões objetivas, a alternativa que descreve essa propriedade aritmética de
é a que se destaca como resposta objetiva sobre a estrutura dos divisores.
Resposta
(d)